铜官区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

铜官区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 函数y=A．{x|x≥﹣1}

+

的定义域是（ ）

B．{x|x＞﹣1且x≠3} C．{x|x≠﹣1且x≠3} D．{x|x≥﹣1且x≠3}

2． 阅读如下所示的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（ ）

A．39 B．21 C．81 D．102

3． 阅读右图所示的程序框图，若m8,n10，则输出的S的值等于（ ） A．28 B．36 C．45 D．120

2z2（ ） zA.1i B.1i C. 2i D. 2i

4． 设复数z1i（i是虚数单位），则复数

【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 5． 下列各组表示同一函数的是（ ） A．y=

与y=（

2）

B．y=lgx2与y=2lgx

C．y=1+与y=1+

D．y=x2﹣1（x∈R）与y=x2﹣1（x∈N）

6． 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则E点位于（ ）

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A．点A处 B．线段AD的中点处

C．线段AB的中点处 D．点D处

7． 已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），x1，x2∈[0，3]，x1≠x2时，有

成立，下列结论中错误的是（ ）

A．f（3）=0

B．直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴 C．函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点 D．函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数

8． 如图，四面体D﹣ABC的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+棱的长度为（ ）

=2，则四面体D﹣ABC中最长

A． 9． （

B．2

0

C． D．3

2

）﹣（1﹣0.5﹣）÷

B．

的值为（ ）

C．

A．﹣ D．

10．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（ ） A．[，2） B．[，2]

11．一个算法的程序框图如图所示，若运行该程序后输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（ ）

C．[，1） D．[，1]

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A．i≤5？B．i≤4？ C．i≥4？ D．i≥5？

12．过点（2，﹣2）且与双曲线A．

﹣

=1

B．

﹣

2

﹣y=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）

=1 C．﹣=1 D．﹣=1

二、填空题

13．观察下列等式 1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49 …

照此规律，第n个等式为 ．

14．设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+…+a99的值为 ．

15．已知i是虚数单位，复数

16．（x﹣）6的展开式的常数项是 （应用数字作答）．

17．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1，4），D（5，0），则直线l的方程为 ．

2的模为 ．

18．函数f(x)x2(a1)x2在区间(,4]上递减，则实数的取值范围是 ．

三、解答题

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

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（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

20．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中实数a的值；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；

（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

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21．直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥ A1B1，D为棱A1B1上的点． （1）证明：DF⊥AE；

（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为若不存在，说明理由．

？若存在，说明点D的位置，

22．（本小题满分13分）

11，数列{an}满足：a1，an1f(an),nN．

21xa1（Ⅰ）若1,2为方程f(x)x的两个不相等的实根，证明：数列n为等比数列；

an2（Ⅱ）证明：存在实数m，使得对nN，a2n1a2n1ma2n2a2n．

设f(x)

）

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23．已知曲线C1：ρ=1，曲线C2：（1）求C1与C2交点的坐标；

（t为参数）

（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′与C2′，写出C1′与C2′的参数方程，C1与C2公共点的个数和C1′与C2′公共点的个数是否相同，说明你的理由．

2015-2016学年安徽省合肥168中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）

24．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2 （1）求a，b的值；

（2）设函数g（x）=f（x）﹣2x+2，求g（x）在其定义域上的最值．

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铜官区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：由题意得：

，

解得：x≥﹣1或x≠3， 故选：D．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．

2． 【答案】D111.Com] 【解析】

试题分析：第一次循环：S3,n2；第二次循环：S21,n3；第三次循环：S102,n4．结束循环，输出S102．故选D. 1 考点：算法初步． 3． 【答案】C

【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．Sm82CnC10C1045，选C．

nn1n2123nm1mCn,n10时，，当m8m4． 【答案】A 【

解

析

】

5． 【答案】C

=|x|，定义域为R，y=（）2=x，定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不能表示同一函数．【解析】解：A．y

B．y=lgx2，的定义域为{x|x≠0}，y=2lgx的定义域为{x|x＞0}，所以两个函数的定义域不同，所以不能表示同一函数．

C．两个函数的定义域都为{x|x≠0}，对应法则相同，能表示同一函数． D．两个函数的定义域不同，不能表示同一函数． 故选：C．

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【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．

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6． 【答案】A

【解析】解：如图，

E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E， 对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置， 面BCD1 的面积为定值，

要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1 的面积和最大， 而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，

∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大． 故选：A．

【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．

7． 【答案】D

【解析】解：对于A：∵y=f（x）为R上的偶函数，且对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3）， ∴令x=﹣3得：f（6﹣3）=f（﹣3）+f（3）=2f（3）， ∴f（3）=0，故A正确；

对于B：∵函数y=f（x）是以6为周期的偶函数， ∴f（﹣6+x）=f（x），f（﹣6﹣x）=f（x）， ∴f（﹣6+x）=f（﹣6﹣x），

∴y=f（x）图象关于x=﹣6对称，即B正确；

对于C：∵y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，在区间[0，3]上为增函数，且f（3）=f（﹣3）=0， ∴方程f（x）=0在[﹣3，3]上有2个实根（﹣3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数， ∴方程f（x）=0在区间[﹣9，﹣3）上有1个实根（为﹣9），在区间（3，9]上有一个实根（为9）， ∴方程f（x）=0在[﹣9，9]上有4个实根．故C正确；

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对于D：∵当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，有

∴y=f（x）在区间[0，3]上为增函数，又函数y=f（x）是偶函数，

，

∴y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，又函数y=f（x）是以6为周期的函数， ∴y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为减函数，故D错误． 综上所述，命题中正确的有A、B、C． 故选：D．

【点评】本题考查抽象函数及其应用，命题真假的判断，着重考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性，考查函数的零点，属于中档题．

8． 【答案】 B

【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥VD﹣ABC=，BC=1， 即AD•

≥1，

≥2

=2，

因为2=AD+当且仅当AD=这时AC=得BD=故选B．

=1时，等号成立，

，

，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=

，故最长棱的长为2．

【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．

9． 【答案】D

【解析】解：原式=1﹣（1﹣=1﹣（1﹣

）÷

）÷

=1﹣（1﹣4）× =1﹣（﹣3）× =1+ =．

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故选：D．

【点评】本题考查了根式与分数指数幂的运算问题，解题时应细心计算，是易错题．

10．【答案】C

【解析】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）， ∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1）， 即

=

=f（1）=，

∴数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，

n

∴an=f（n）=（），

∴Sn=故选C．

=1﹣（）n∈[，1）．

【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到数列{an}是等比数列，属中档题．

11．【答案】 B

【解析】解：模拟执行程序框图，可得 i=1，sum=0，s=0

满足条件，i=2，sum=1，s=满足条件，i=3，sum=2，s=满足条件，i=4，sum=3，s=满足条件，i=5，sum=4，s=

+++

++

+

=1﹣+﹣+﹣+﹣=．

由题意，此时不满足条件，退出循环，输出s的，则判断框中应填入的条件是i≤4． 故选：B．

【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．

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12．【答案】A

2

﹣y=λ，

．

【解析】解：设所求双曲线方程为把（2，﹣2）代入方程

2

﹣y=λ，

解得λ=﹣2．由此可求得所求双曲线的方程为故选A．

【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意公式的灵活运用．

二、填空题

13．【答案】 n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 ．

【解析】解：观察下列等式 1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49 …

等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2 左边的式子的项数与右边的底数一致， 每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，

照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2， 故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2

【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．

14．【答案】 ﹣2 ．

n+1*

【解析】解：∵曲线y=x（n∈N），

n

∴y′=（n+1）x，∴f′（1）=n+1，

∴曲线y=x

n+1

*

（n∈N）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），

该切线与x轴的交点的横坐标为xn=∵an=lgxn，

∴an=lgn﹣lg（n+1）， ∴a1+a2+…+a99

，

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=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100） =lg1﹣lg100=﹣2． 故答案为：﹣2．

15．【答案】 ．

【解析】解：∵复数故答案为：

．

=

=i﹣1的模为

=

．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．

16．【答案】 ﹣160

【解析】解：由于（x﹣）展开式的通项公式为 Tr+1=

6

•（﹣2）r•x6﹣2r，

=﹣160，

6

令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x﹣）展开式的常数项为﹣8

故答案为：﹣160．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

17．【答案】 故斜率为

=，

．

，

【解析】解：∵直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点（3，2），

∴由斜截式可得直线l的方程为故答案为

．

【点评】本题考查直线的斜率公式，直线方程的斜截式．

18．【答案】a3 【解析】

试题分析：函数fx图象开口向上，对称轴为x1a，函数在区间(,4]上递减，所以1a4,a3. 考点：二次函数图象与性质．

三、解答题

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19．【答案】

，0）

，设

， ，

，

【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A 所以BD⊥平面PAC 所以BO=1，AO=OC=坐标系O﹣xyz，则

，

，0），B（1，0，0），C（0，

（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，

以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角P（0，﹣，2），A（0，﹣ 所以=（1，，﹣2），

设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知则则所以

=0， 令

设平面PBC的法向量=（x，y，z）

平面PBC的法向量所以同理平面PDC的法向量所以所以PA=

=0，即﹣6+．

=0，解得t=

，

，因为平面PBC⊥平面PDC，

【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得： 10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1， 解得a=0.03．

（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：

=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．

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（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B， 数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F， 若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生， 则所有的基本事件有：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E）， （B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个， 如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内， 则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，

则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，

所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=图和列举法的合理运用．

21．【答案】

【解析】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB， 又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1， 又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1）， 设D（x，y，z），则 D（λ，0，1），所以∵

=（0，1，），∴

•=（=

且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），

，，﹣1）， =0，所以DF⊥AE；

．

．

【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方

（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理由如下：

设面DEF的法向量为=（x，y，z），则∵

=（

，，），

=（

，﹣1），

，

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∴，即，

令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））． 由题可知面ABC的法向量=（0，0，1）， ∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为∴|cos＜，＞|=解得

或

=

，即

，

=

，

（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．

【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．

22．【答案】

221110111【解析】解：证明：f(x)xxx10，∴2，∴． 2221012211an111an111an121an1an12∵， （3分）

1an122122an22an2an21ana110，10，

a1222∴数列an1为等比数列． （4分）

an251，则f(m)m． 2第 15 页，共 17 页

（Ⅱ）证明：设m精选高中模拟试卷

由a11231及an1得a2，a3，∴0a1a3m． 2351an∵f(x)在(0,)上递减，∴f(a1)f(a3)f(m)，∴a2a4m．∴a1a3ma4a2，（8分） 下面用数学归纳法证明：当nN时，a2n1a2n1ma2n2a2n． ①当n1时，命题成立． （9分）

②假设当nk时命题成立，即a2k1a2k1ma2k2a2k，那么 由f(x)在(0,)上递减得f(a2k1)f(a2k1)f(m)f(a2k2)f(a2k) ∴a2ka2k2ma2k3a2k1

由ma2k3a2k1得f(m)f(a2k3)f(a2k1)，∴ma2k4a2k2， ∴当nk1时命题也成立， （12分）

由①②知，对一切nN命题成立，即存在实数m，使得对nN，a2n1a2n1ma2n2a2n.

23．【答案】

22

【解析】解：（1）∵曲线C1：ρ=1，∴C1的直角坐标方程为x+y=1， ∴C1是以原点为圆心，以1为半径的圆，

∵曲线C2：（t为参数），∴C2的普通方程为x﹣y+=0，是直线，

联立，解得x=﹣，y=，

． ）．

：

∴C2与C1只有一个公共点：（﹣（2）压缩后的参数方程分别为

：

（θ为参数）

（t为参数），

化为普通方程为：联立消元得其判别式∴压缩后的直线

22

：x+4y=1，

：y=

，

，

，

与椭圆

仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．

【点评】本题考查两曲线的交点坐标的求法，考查压缩后的直线与椭圆的公共点个数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次方程的根的判别式的合理运用．

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24．【答案】

2

【解析】解：（1）f（x）=x+ax+blnx的导数f′（x）=1+2a+（x＞0），

由题意可得f（1）=1+a=0，f′（1）=1+2a+b=2， 得

；

，

2

fx）=x﹣x2+3lnx，g=fg（=﹣2x﹣1=﹣′x）（2）证明：（（x）（x）﹣2x+2=3lnx﹣x﹣x+2（x＞0），

x （0，1） 1 （1，+∞） g′（x） + 0 ﹣ g（x） ↗ 极大值 ↘ ∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减， 可得g（x）max=g（1）=﹣1﹣1+2=0，无最小值．

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