工程中的概率方法
课程笔记16．901
2003年春 大卫.达尔莫法
1 概率概念概述
本节的目的是为了快速地回顾概率论中的一些基本概念。
1.1 结论和事件
我们认为试验或行为是可以多次重复进行的。每次重复进行的结果可记为ζ. 某事件A 是满足一定条件结果的集合，一个基本事件仅包括一个单一的结果。
例：看检查涡轮喷气发动机动叶片的情形。设涡轮喷气发动机中的动叶片总数为N ，每次检查结果的记录是因损坏而必须更换的叶片数量，于是，结果就是一个非负整数集合{0, 1, 2,...,N }. 假如发动机被更换的叶片数大于某值，比如5片，则预示该发动机可能发生了重大的损伤，需要对其进行更为彻底的检查。在这种情况下，我们会关注更换叶片数量在{6, 7, 8,...,N }中的事件。但这不是一个基本事件，因为它包含了多于一个结果。当然，我们还会关注没有叶片更换的情况，而该事件仅包含一个单一的结果(即 0)，因此是一个基本事件。
1.2 概率的意义
给定某事件A, 事件A的概率P {A}假定满足如下性质：
P {A}≥ 0.
仅当事件必然发生时， P {A} = 1.
给定两个互斥事件A 和 B, 则 P{A+B}=P{A}+P{B}.
1.3 随机变量
概率论的效用在于描述随机变量的性质。用最简单的话来说，随机变量可被定义为一个变量或参数，其值依赖于实际试验的不同结果。因此随机变量是一个结果的函数。我们用粗体字母表示一个随机变量，如：x. 我们已经知道x的值依赖于实际发生的结果，即 x = x(ζ).
例：我们接着看检查动叶片的例子。随机变量的一个非常简单的例子是实际检查中更换的叶片数，此时，随机变量就是刚好就是结果本身! 特别有,
N(ζ)= ζ.
好了，让我们试试稍复杂些的。航空公司所关心的是检修发动机的费用，不含更换叶片的费用，航空公司仅因进行检查所需的人工工资是CI 美元（劳工费），更换一片叶片的费用是CB（包括新叶片和劳工费），而且，如果更换的叶片数大于5，则由于必须进行更为彻底的检查，费用会急剧上升。我们将这一费用增量表示为 CD. 既然检修的费用依赖于检查的结果（而且结果是随机的），显然检修费用是一个随机变量。 特别有,
对于 0≤ζ≤5，⎧CI+CBζ,C(ζ)=⎨
C+Cζ+C, 对于 6≤ζ≤N.⎩IBD
1.4 概率密度函数 (PDF)
我们常关心参数为实数（即有无穷多个值）的概率。此时，概率密度
函数可用来描述参数处在某区间的概率。特别，当给定随即变量 x，使 a ≤ x ≤ b 的概率为
P{a≤x≤b}=∫f(x)dx，
a
b
其中f (x) 就是 x 的分布密度函数（PDF） 。
一个常见的（而且可能是最简单的）分布是均匀分布。对于均匀分布，我们假定其概率密度在某区域内是常数，在该区域外为零。
⎧1
对于 a≤x≤b,⎪
均匀分布： f(x)=⎨b−a
⎪⎩0, 其它。
其他的分布形式在1.9节中有介绍。
1.5 期望值和平均值
给定PDF, 随即变量的 x 的f (x)，则 x 的期望值定义为,
E{x}≡∫
+∞
−∞
xf(x)dx
x 的期望值也被看作平均值，我们也用符号 mx 表示。
1.6 方差和标准差
x 的方差定义为
σ≡∫(x−μx)2f(x)dx.
−∞
2
x
+∞
方差是x关于其平均值变化情况的一种测度，平均值σx 就是x的标准差。
值和方差之间一个经常用到的关系式是
σx2=E{x2}−μx2
不妨试着证明一下！
1.7 累积分布函数(CDF)
x的累积分布函数(CDF)定义为 x ≤x 的概率。特别有，
F (x) ≡ P {x ≤ x } .
由概率的基本假设条件，可以得出F (-∞) = 0 (即x变成无穷大的概率为零) 且 F (+∞) = 1 (即x小于无穷大的概率为1). x 的 CDF 和 PDF 有如下关系,
F(a)=∫
于是，我们可以证明,
a
−∞
f(x)dx
F(b)−F(a)=∫f(x)dx
a
b
进一步，着隐含了
dF
f=.
dx
1.8 百分位数值
x 的 u百分位数值是满足下式的最小数 xu
u = P {x ≤ xu} = F (xu).
注意，既然u是一个概率值，其区域为 0 ≤ u ≤ 1.
1.9 常用分布类型
1.9.1 正态分布
正态分布（或高斯分布）为：
f(x)=
1σx2πe2
−(x−μx)/2σx
2
我们用通用的记号x=N(μ;σ)表示x是服从均值为m, 标准差为s的正态分布的随机变量。 1.9.2 三角分布
这个分布常用于随即变量的最小值(xmin)，最似然值(xmpp)和最大值(xmax)可以估计出来，但实际的概率密度不清楚的情形。三角分布假设概率密度在xmax达最大值，密度线性地变化到在最小点xmin和最似然点xmpp的处的零值。让我们推导这一情形的PDF.
