旋转培优专题

例1：请阅读下列材料：

问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．

李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为7，问题得到解决． 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

配套练习：

1.如图，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=213，PB=4， PC=2，则∠BPC的度数为______，正六边形ABCDEF的边长为_____. 2.等边三角形ABC有一点P，PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数.

B

PAC旋转模型2---共顶点模型

一、常见共顶点（手拉手）模型结论 （请自行证明） 1.共顶点等边三角形 结论：

A(1)△BCD≌△ACE

DF(2)BD=AE

(3)∠AFB=60° (4)FC平分∠BFE EB(5)FB=FA+FC；FE=FD+FC C

2.共顶点等腰直角三角形形 结论：

(1)△BCD≌△ACE

A(2)BD=AE (3)∠AFB=90°

FD(4)FC平分∠BFE

(5)FB=FA+2FC；FE=FD+2FC

BCE(6)AE2BD2AD2BE2 (7) S△ACDS△BCE

(8)I是AD中点，则CI⊥BE，CI=

1BE 2配套练习：

如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． （1）观察猜想

图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形

状，并说明理由； （3）拓展延伸

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最

大值．

旋转模型3---角含半角模型

例1：通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题通一类的目的． 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上， ∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由． (1)补充证明过程

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CD，∠BAD=∠B=∠ADC= 90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合． ∵∠ADG=∠B=90°， ∴∠ADC+∠ADG=180°，∴点F、D、G共线． ．

(2)类比引申 如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系___________ 时，仍有EF=BE+DF．

(3)联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并证明．

配套练习：

1.例1中的图1条件“点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上”改成“点E、F分别在射线BC、CD上”，其余条件不变，则EF、BE、DF的数量关系是__________________； 2.如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°． 求△AMN的周长．

旋转模型4---对角互补模型

一、常见对角互补模型结论

1.对角互补之90° 如图，∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB.

A 结论：(1)CD=CE； CD(2)OD+OE=2OC；

1 (3)S△OCDS△OCEOC2；

2EB O

2.对角互补之120° 如图，∠AOB=120°，∠DCE=60°，OC平分∠AOB. A 结论：(1)CD=CE；

C(2)OD+OE=OC； (3) S△OCDS△OCED3OC2； 4 BEO

配套练习：

1.四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠BAD和∠BCD都是直角，另一条对角线AC的长度为2，则四边形ABCD的面积是________． 2.在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与AC边（或AC边的延长线）相交于点F．

1AB； 2(2)如图2，将图1中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与AC边的延长(1)如图1，DF与AC边相交于点F．求证：BECF线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BECF3(BECF)．

A BEFCDAENBDCF