人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：微专题4 换底公式

微专题4 换底公式

换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． 一、换底公式的正用

例1 (1)log29×log34等于( ) 11

A.B.C．2D．4 42

考点 对数的运算 题点 换底公式的应用 『答 案』 D

『解 析』 log29×log34＝

lg9lg42lg32lg2×＝×＝4. lg2lg3lg2lg3

(2)已知log152＝a，b＝log35，则log12518＝________. 『答 案』

ab＋a＋2

3b

log32log32log32

『解 析』 a＝log152＝＝＝，

log315log35＋1b＋1所以log32＝a(b＋1)＝ab＋a， log318log32×32

log12518＝＝

log3125log353log32＋2ab＋a＋2

＝＝. 3log353b二、换底公式的逆用

log52×log727例2 计算：＝________.

1

log5×log74

33

『答 案』 － 4

log52log727

『解 析』 原式＝× 1log74log5

3＝log132×log427＝1×lg4

lg3

lg2lg27

1

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1lg22

＝

3lg33×＝－.

4－lg32lg2

1

三、换底公式的基本变形一：logab＝ logba11

例3 已知2a＝5b＝10，求＋的值．

ab解 ∵2a＝10，∴a＝log210， 11∴＝＝lg2， alog210

11

5b＝10，∴b＝log510，∴＝＝lg5.

blog51011

∴＋＝lg2＋lg5＝1. ab

mm四、换底公式的基本变形二：loganb＝logab

n例4 已知log1627＝a，则log916＝________. 『答 案』

3 2a

『解 析』 ∵log1627＝a，∴log2433＝a， 34∴log23＝a，∴log23＝a， 43

414∴log916＝log322＝log32＝2log32＝2· 2log2333

＝2×＝.

4a2a五、解对数方程

例5 若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为________． 『答 案』

3

lgblgclg3『解 析』 ∵logab·logbc·logc3＝··

lgalgblgc＝lg3＝2. lga

∴lg3＝2lga＝lga2，

∴a2＝3，解得a＝3，或a＝－3(舍去)． 六、证明对数恒等式 例6 证明：(ab)lga

＋lgb

＝alga·blgb·a2lgb.

2

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证明 左边＝alga＋lgb·blga＋lgb ＝alga·algb·blga·blgb，

3

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lgalgblgbalglgbblgb又blgabblogbalgbalgb.

所以左边＝alga·blgb·blga·algb ＝alga·blgb·algb·algb ＝alga·blgb·a2lgb＝右边． 即原等式成立．

4