四川省成都市石室佳兴外国语学校2016-2017学年高二下学期第一次月考数学试卷Word版含解析

一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）

1．已知集合 A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x≥m}．若 A∩B=∅，则实数m的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，3] B．（﹣2，3]

C．（﹣∞，﹣2） D．[3，+∞）

2．（文）已知x，y满足（1+i）+（2﹣3i）=a+bi，则a，b分别等于（ ） A．3，﹣2 B．3，2

C．3，﹣3 D．﹣1，4

3．已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

4．3、已知函数A．2

B．1

C． D．

，则f[f（﹣1）]=（ ）

5．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=4m﹣x，且f（﹣2）=，则m的值为（ ） A．﹣l B．1

C． D．2

6．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：

x y 2 20 4 40 5 60 6 70 8 80 根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值等于（ ） A．1

B．1.5 C．2

D．2.5

，则z=x+2y+a的最小值是2，则实数a的值为（ ）

7．y满足若实数x，A．O

B． C．2

D．﹣l

8．已知f（x）=x+，则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ） A．2x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣4=0 C．x+y﹣2=0

D．x+y﹣4=0

9．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值

为（ ）

A． B．73 C．512 D．585 10．等差数列{an}前n项和为Sn，且A．1

B．2

C．3

D．4

﹣

=3，则数列{an}的公差为（ ）

11．10、（文）若关于x的不等式x3﹣3x+3+a≤0恒成立，其中﹣2≤x≤3，则实数a的最大值为（ ） A．1

B．﹣1 C．﹣5 D．﹣21

﹣a≤0有解，其中x≥﹣2，则实数a的最

12．若关于x的不等式x3﹣3x+3﹣小值为（ ） A．1﹣

B．2﹣

C．﹣1

D．1+2e2

13．11、设函数f（x）是奇函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）

B．（﹣2，0）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪

（﹣2，0） D．（0，2）∪（2，+∞） 14．已知F1，F2分别为双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右

支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A．（1，） B．（1，] C．（，+∞） D．[，+∞）

15．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=A．3

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共20分）

16．“m=1”是“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”的 条件． 17．

．

，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则B．

C．2

D．

的最大值为（ ）

18．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是 ． 19．0）若存在过点（1，的直线与曲线y=x3和20．16、（文）函数21．设函数f（x）=

三、解答题

22．已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值﹣2．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调区间和极大值． 23．已知函数f（x）=x3﹣2ax2+3x（x∈R）．

（1）若a=1，点P为曲线y=f（x）上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；

（2）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a．

24．甲、乙两校各有3名教师报名支教，期中甲校2男1女，乙校1男2女． （Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

都相切，则a等于 ．

的最大值为 M，最小值为m，则 M+m= ． 的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．

（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．

25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明：PA⊥BD；

（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

26．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：cm）的值落在[29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如表： 甲厂：

[30.02， [30.06， [30.10， 分组 [29.86， [29.90， [29.94， [29.9 8，29.90 ） 29.94） 频数 乙厂： 分组 频数 12 63 29.98） 86 30.02） 182 30.06） 92 30.10） 61 30.14） 4 [29.86， [29.90， [29.94， [29.98， [30.02， [30.06， [30.10， 29.90） 29 29.94） 71 29.98） 85 30.02） 159 30.06） 76 30.10） 62 30.14） 18 （1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；

（2）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．

甲厂 乙厂 合计 优质品 非优质品 合计 附K2=p（K2≥k） k 3.841 6.635 0.05 0.01 ，

27．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；

（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．

28．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点P（a，b）满

足|PF2|=|F1F2|．

（Ⅰ）求椭圆的离心率e；

2

B两点，（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，若直线PF2与圆（x+1）+

=16

相交于M，N两点，且|MN|=|AB|，求椭圆的方程． 29．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；

（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

，其中e是自然常数，a∈R．

2016-2017学年四川省成都市石室佳兴外国语学校高二

（下）第一次月考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）

1．已知集合 A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x≥m}．若 A∩B=∅，则实数m的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，3] B．（﹣2，3] 【考点】1E：交集及其运算．

【分析】根据集合的交集的运算性质计算即可． 【解答】解：A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x≥m}， 若 A∩B=∅， 则实数m≥3， 故选：D．

2．（文）已知x，y满足（1+i）+（2﹣3i）=a+bi，则a，b分别等于（ ） A．3，﹣2 B．3，2

C．3，﹣3 D．﹣1，4

C．（﹣∞，﹣2） D．[3，+∞）

【考点】A3：复数相等的充要条件．

【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出． 【解答】解：（1+i）+（2﹣3i）=a+bi， ∴3﹣2i=a+bi， ∴a=3，b=﹣2． 故选：A．

3．已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出． 【解答】解：∵1+i=， ∴z=

=

=

在复平面内，复数z所对应的点

在第一象限．

故选：A．

4．3、已知函数A．2

B．1

C． D．

，则f[f（﹣1）]=（ ）

【考点】3T：函数的值．

【分析】先求出f（﹣1）=1﹣2﹣1=，从f[f（﹣1）]=f（），由此能求出结果．

【解答】解：∵函数∴f（﹣1）=1﹣2﹣1=， f[f（﹣1）]=f（）=故选：C．

=．

，

5．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=4m﹣x，且f（﹣2）=，则m的值为（ ） A．﹣l B．1

C． D．2

【考点】3L：函数奇偶性的性质．

【分析】函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（﹣2）=f（2），由已知解析式即可得到．

【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数， 则f（﹣x）=f（x）， 即有f（﹣2）=f（2），

当x＞0时，f（x）=4m﹣x，f（﹣2）=， 则f（2）=4m﹣2=， 即有2m﹣4=﹣3， ∴m=． 故选C．

6．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：

x y 2 20 4 40 5 60 6 70 8 80 根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值等于（ ） A．1

B．1.5 C．2

D．2.5

【考点】BK：线性回归方程．

【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程求出a． 【解答】解：∵=

=5， =

=54

∴这组数据的样本中心点是（5，54）

把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+a，∴54=10.5×5+a， ∴a=1.5， 故选：B．

7．y满足若实数x，A．O

B． C．2

，则z=x+2y+a的最小值是2，则实数a的值为（ ）

D．﹣l

【考点】7C：简单线性规划．

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．

【解答】解：作出不等式对应的平面区域，

由z=x+2y+a，得y=﹣平移直线y=﹣时，直线y=﹣此时z最小． 此时最小值为z=a，

+，

+经过点原点（0，0）

+，由图象可知当直线y=﹣+的截距最小，

∵z=x+2y+a的最小值是2， ∴a=2． 故选：C．

8．已知f（x）=x+，则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ） A．2x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣4=0 C．x+y﹣2=0

D．x+y﹣4=0

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求出f′（x），由题意可知曲线在点（1，f（1））处的切线方程的斜率等于f′（1），所以把x=1代入到f′（x）中即可求出f′（1）的值，得到切线的斜率，然后把x=1和f′（1）的值代入到f（x）中求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率直线切线的方程即可．

【解答】解：∵f（1）=3，f′（x）=1﹣∴f′（1）=﹣1，

∴所求的切线方程为：y﹣3=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0． 故选：D．

，

9．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值

为（ ）

A． B．73 C．512 D．585 【考点】EF：程序框图．

【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出S，结束循环，得到所求． 【解答】解：经过第一次循环得到S=0+13，不满足S≥50，x=2， 执行第二次循环得到S=13+23，不满足S≥50，x=4， 执行第三次循环得到S=13+23+43=73，

满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S=73． 故选B．

10．等差数列{an}前n项和为Sn，且A．1

B．2

C．3

D．4

﹣

=3，则数列{an}的公差为（ ）

【考点】83：等差数列．

【分析】由题意可得首项和公差的方程，化简可得公差d． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， ∵

﹣

=3，∴

﹣

=3，

化简可得2d﹣d=3，解得d=2 故选：B．

11．10、（文）若关于x的不等式x3﹣3x+3+a≤0恒成立，其中﹣2≤x≤3，则实数a的最大值为（ ） A．1

B．﹣1 C．﹣5 D．﹣21

【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】问题转化为a≤﹣x3+3x﹣3在x∈[﹣2，3]恒成立，令f（x）=﹣x3+3x﹣3，x∈[﹣2，3]，根据函数的单调性求出a的最大值即可． 【解答】解：若关于x的不等式x3﹣3x+3+a≤0恒成立， 则a≤﹣x3+3x﹣3在x∈[﹣2，3]恒成立， 令f（x）=﹣x3+3x﹣3，x∈[﹣2，3]， 则f′（x）=﹣3x2+3=﹣3（x+1）（x﹣1）， 令f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1， 令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜﹣1，

故f（x）在[﹣2，﹣1）递减，在（﹣1，1）递增，在（1，2]递减， 而 f（﹣2）=﹣1，f（﹣1）=﹣5，f（1）=﹣1，f（2）=﹣5， 故a≤﹣5，

故a的最大值是﹣5， 故选：C．

12．若关于x的不等式x3﹣3x+3﹣小值为（ ）

﹣a≤0有解，其中x≥﹣2，则实数a的最

A．1﹣ B．2﹣ C．﹣1

D．1+2e2

【考点】74：一元二次不等式的解法．

【分析】分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可 【解答】解：化简可得a≥x3﹣3x+3﹣设f（x）=x3﹣3x+3﹣∴f′（x）=3x2﹣3﹣

， ，

，

令f′（x）=0，解得x=1，

故当x∈[﹣2，1）时，g′（x）＜0， 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，

故f（x）在[﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数； 故fmin（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣， 故选：A．

13．11、设函数f（x）是奇函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）

B．（﹣2，0）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪

（﹣2，0） D．（0，2）∪（2，+∞） 【考点】3L：函数奇偶性的性质．

【分析】构造函数g（x），利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，求出不等式的解集即可． 【解答】解：设g（x）=

，则g（x）的导数为：g′（x）=

，

∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立， 即当x＞0时，g′（x）＞0，

∴当x＞0时，函数g（x）为增函数， 又∵g（﹣x）=

=

=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数， ∴x＜0时，函数g（x）是减函数，

又∵g（﹣2）==0=g（2），

∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2， x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2， ∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）． 故选：A．

14．已知F1，F2分别为双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右

支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．（1，

） B．（1，

]

C．（

，+∞） D．[

，+∞）

【考点】KC：双曲线的简单性质．

【分析】设A点坐标为（m，n），则直线AF1的方程为 （m+c）y﹣n（x+c）=0，求出右焦点F2（c，0）到该直线的距离，可得直线AF1的方程为ax﹣by+ac=0，

根据A是双曲线上的点，可得b4﹣a4＞0，即可求出双曲线的离心率的取值范围．

【解答】解：设A点坐标为（m，n），则直线AF1的方程为 （m+c）y﹣n（x+c）=0，

右焦点F2（c，0）到该直线的距离为2a，所以所以n=（m+c），

所以直线AF1的方程为ax﹣by+ac=0， 与

﹣

=1联立可得（b4﹣a4）x2﹣2a4cx﹣a4c2﹣a2b4=0，

=2a，

因为A在右支上，所以b4﹣a4＞0， 所以b2﹣a2＞0， 所以c2﹣2a2＞0， 所以e＞故选：C．

．

15．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=A．3

，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则B．

C．2

D．

的最大值为（ ）

【考点】KC：双曲线的简单性质．

【分析】先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到：

=4，利用基本不等式可得结论．

【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|﹣|PF2|=2a2， ∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2， 设|F1F2|=2c，∠F1PF2=

，则：

在△PF1F2中由余弦定理得，

4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化简得：a12+3a22=4c2， 该式可变成：

=4，

∴∴

≤

=4≥，

故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共20分）

16．“m=1”是“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”的 充要 条件． 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出． 【解答】解：直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直⇔1×∴直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直的充要条件． 故答案为：充要． 17．

4 ．

=﹣1，解得m=1．

【考点】67：定积分．

【分析】根据定积分的定义，找出一次函数4﹣2x的原函数然后代入计算即可．

【解答】解：故答案为4．

（4x﹣x2）|02=（8﹣4）﹣0=4，

18．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是 （0，1） ． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】依题意，可求得f′（x）=（x）=x2﹣2lnx的单调减区间．

【解答】解：∵f（x）=x2﹣2lnx（x＞0）， ∴f′（x）=2x﹣=

=

，由f′（x）＜0即可求得函数f

，

令f′（x）＜0由图得：0＜x＜1．

∴函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（0，1）． 故答案为（0，1）．

19．若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和﹣

或﹣1 ．

都相切，则a等于

【考点】62：导数的几何意义．

【分析】已知点（1，0）不知曲线y=x3上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线y=x3相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与y=ax2+

x

﹣9相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出a的值．

【解答】解：由y=x3⇒y'=3x2，设曲线y=x3上任意一点（x0，x03）处的切线方程为y﹣x03=3x02（x﹣x0），（1，0）代入方程得x0=0或①当x0=0时，切线方程为y=0，则

，

②当时，切线方程为，由，

∴

故答案为：﹣

20．16、（文）函数

或﹣1

或a=﹣1．

的最大值为 M，最小值为m，则 M+m= 2 ．

【考点】HW：三角函数的最值．

【分析】根据函数g（x）是奇函数，其最大值与最小值的和为0；求出函数f（x）的最大值与最小值的和为2． 【解答】解：函数f（x）=1+令g（x）=

，则g（﹣x）=﹣

；

=﹣g（x），

∴函数g（x）是奇函数，

其最大值N与最小值n的和为N+n=0；

又函数f（x）的最大值为M=N+1，最小值为m=n+1， ∴M+m=（N+1）+（n+1）=2．

故答案为：2．

21．设函数f（x）=

的最大值为M，最小值为m，则M+m= 2 ．

【考点】3N：奇偶性与单调性的综合． 【分析】函数可化为f（x）=

为奇函数，从而函数

由此可得函数f（x）=

=

，令

，则

的最大值与最小值的和为0，

的最大值与最小值的和．

【解答】解：函数可化为f（x）=令∴

∴函数f（x）=即M+m=2． 故答案为：2．

三、解答题

，则

为奇函数，

=，

的最大值与最小值的和为0．

的最大值与最小值的和为1+1+0=2．

22．已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值﹣2．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调区间和极大值．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3K：函数奇偶性的判断；6D：利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）由f（﹣x）=﹣f（x）可得d=0，得f（x）=ax3+cx，求出f'（x），得方程组，解出即可；

（2）由f（x）=x3﹣3x得f'（x）=3x2﹣3，令f'（x）=0得x1=﹣1，x2=1，从而求出单调区间，进而求出极值．

【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数， ∴由f（﹣x）=﹣f（x）可得d=0， ∴f（x）=ax3+cx…f'（x）=3ax2+c， 当x=1时f（x）取得极值﹣2， 则解方程组得

， ，

故所求解析式为f（x）=x3﹣3x．

（2）由f（x）=x3﹣3x得f'（x）=3x2﹣3， 令f'（x）=0得x1=﹣1，x2=1，

即增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间（﹣1，1）； 当x=﹣1时，函数有极大值2．

23．已知函数f（x）=x3﹣2ax2+3x（x∈R）．

（1）若a=1，点P为曲线y=f（x）上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；

（2）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a．

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）设出切线的斜率k，得到k等于f′（x）并把a=1代入到f（x）中求出解析式，根据二次函数求最小值的方法，求出k的最小值，然后把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值即可得到切点坐标，根据斜率和切点坐标写出切线方程即可；

（2）求出f′（x），要使f（x）为单调递增函数，必须满足f'（x）＞0，即对任意的x∈（0，+∞），恒有f′（x）大于0，解出a小于一个关系式，利用基本不等式求出这个关系式的最小值，得到关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值

范围，在范围中找出满足条件的最大整数即可．

【解答】解：（1）设切线的斜率为k，则k=f′（x）=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，当x=1时，kmin=1．

把a=1代入到f（x）中得：f（x）=x3﹣2x2+3x，所以f（1）=﹣2+3=，即切点坐标为（1，）

∴所求切线的方程为y﹣=x﹣1，即3x﹣3y+2=0．

（2）f′（x）=2x2﹣4ax+3，因为y=f（x）为单调递增函数，则对任意的x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞0， f′（x）=2x2﹣4ax+3＞0， ∴a＜所以a＜

24．甲、乙两校各有3名教师报名支教，期中甲校2男1女，乙校1男2女． （Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；C9：相互事件的概率乘法公式．

=+，而+≥，当且仅当x=时，等号成立．

，则所求满足条件的最大整数a值为1．

【分析】首先根据题意，将甲校的男教师用A、B表示，女教师用C表示，乙校的男教师用D表示，女教师用E、F表示，

（Ⅰ）依题意，列举可得“从甲校和乙校报名的教师中各任选1名”以及“选出的2名教师性别相同”的情况数目，由古典概型的概率公式计算可得答案；

（Ⅱ）依题意，列举可得“从报名的6名教师中任选2名”以及“选出的2名教师同一个学校的有6种”的情况数目，由古典概型的概率公式计算可得答案． 【解答】解：甲校的男教师用A、B表示，女教师用C表示，乙校的男教师用D表示，女教师用E、F表示，

（Ⅰ）根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，

有（AD），（AE），（AF），（BD），（BE），（BF），（CD），（CE），（CF），共9种；

其中性别相同的有（AD）（BD）（CE）（CF）四种； 则选出的2名教师性别相同的概率为P=； （Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，

有（AB）（AC）（AD）（AE）（AF）（BC）（BD）（BE）（BF）（CD）（CE）（CF）（DE）（DF）（EF）共15种；

其中选出的教师来自同一个学校的有6种； 则选出的2名教师来自同一学校的概率为P=

25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明：PA⊥BD；

（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

．

【考点】LX：直线与平面垂直的性质；MR：用空间向量求平面间的夹角． 【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

，利用勾股定

理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量

，

和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．

【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD 所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，

，

射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则 A（1，0，0），B（0，=（﹣1，

，0），

，0），C（﹣1，=（0，

，﹣1），

，0），P（0，0，1）． =（﹣1，0，0），

设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则

即

因此可取=（

， ，1，

）

，

设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则即：

可取=（0，1，），cos＜＞=

．

=

故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣

26．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：cm）的值落在[29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如表： 甲厂：

[30.02， [30.06， [30.10， 分组 [29.86， [29.90， [29.94， [29.9 8，29.90 ） 29.94） 频数 乙厂：

12 63 29.98） 86 30.02） 182 30.06） 92 30.10） 61 30.14） 4 分组 频数 [29.86， [29.90， [29.94， [29.98， [30.02， [30.06， [30.10， 29.90） 29 29.94） 71 29.98） 85 30.02） 159 30.06） 76 30.10） 62 30.14） 18 （1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；

（2）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．

甲厂 乙厂 合计 优质品 非优质品 合计 附K2=p（K2≥k） k ，

0.05 0.01 3.841 6.635 【考点】BO：性检验的应用．

【分析】（1）利用优质品数除以样本容量，即可估计零件的优质品率；

（2）利用统计数据可填写2×2列联表，再利用公式，求出k，利用给出的数据，即可得出结论．

【解答】解：（1）甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为

=72%；

乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为=%． （2）

甲厂 360 140 500 乙厂 320 180 500 合计 680 320 1000 优质品 非优质品 合计 ≈7.35＞6.635，

所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．

27．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；

（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．

【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．

b=求出c的长，【分析】（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；

（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．

【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8， ∴c=8﹣（a+b）=，

∴由余弦定理得：cosC===﹣；

（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC， ∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC， ∴sinA+sinB=3sinC，

利用正弦定理化简得：a+b=3c， ∵a+b+c=8， ∴a+b=6①，

∵S=absinC=sinC， ∴ab=9②，

+sinB•=2sinC，

联立①②解得：a=b=3．

28．设椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点P（a，b）满

足|PF2|=|F1F2|．

（Ⅰ）求椭圆的离心率e；

2

B两点，（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，若直线PF2与圆（x+1）+

=16

相交于M，N两点，且|MN|=|AB|，求椭圆的方程．

【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）直接利用|PF2|=|F1F2|，对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e；

（Ⅱ）先把直线PF2与椭圆方程联立求出A，B两点的坐标以及对应的|AB|两点，进而求出|MN|，再利用弦心距，弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求椭圆的方程．

【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）． 由题得|PF2|=|F1F2|，即或=， 所以e=．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=为y=

（x﹣c）．

，

c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线方程PF2

=2c，整理得2

+﹣1=0，得=﹣1（舍），

A，B的坐标满足方程组消y并整理得5x2﹣8xc=0，

解得x=0，x=，得方程组的解为，，

不妨设A（c， c），B（0，﹣c）．

所以|AB|=圆心（﹣1，因为d2+所以椭圆方程为

=

）到直线PF2的距离d=

c，于是|MN|=|AB|=2c．

，

（舍）或c=2．

=42，所以（2+c）2+c2=16，整理得c=﹣+

=1．

29．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；

，其中e是自然常数，a∈R．

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；

（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极小值； （Ⅱ）f（x）在（0，e]上的最小值为1，令h（x）=g（x））+，求导函数，确定函数的单调性与最大值，即可证得结论；

（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用f（x）的最小值是3，即可求解． 【解答】（Ⅰ）解：f（x）=x﹣lnx，f′（x）=

…

∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减 当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增 … ∴f（x）的极小值为f（1）=1 …

（Ⅱ）证明：∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1， ∴f（x）＞0，f（x）min=1… 令h（x）=g（x））+=

+，

，…

当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增 … ∴h（x）max=h（e）=

＜

=1=|f（x）|min …

∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；…

（Ⅲ）解：假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，f′（x）=

①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），所以，此时f（x）无最小值．… ②当0＜＜e时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，f（x）

min=f（

）=1+lna=3，∴a=e2，满足条件．… ③当

时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，

所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴所以，此时f（x）无最小值．…

综上，存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．…

a=（舍去），

2017年5月26日