2021年高考理数真题试卷(全国乙卷)(教师版)带答案解析

2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）

1.设2（z+ 𝑧̅ ）+3(z- 𝑧̅ )=4+6i，则z=（ ）.

A. 1-2i B. 1+2i C. 1+i D. 1-i 【答案】 C

【考点】复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】设𝑧=𝑎−𝑏𝑖,2(𝑧+𝑧)+3(𝑧−𝑧)=5𝑧−𝑧=4𝑎+6𝑏𝑖=4+6𝑖,所以a=b=1，所以z＝1+i。 故答案为：C

【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。

2.已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（ ） A. ∅ B. S C. T D. Z 【答案】 C

【考点】交集及其运算

【解析】【解答】当n=2k (𝑘∈𝑍) 时，S={s|s=4k+1, 𝑘∈𝑧 }, 当n=2k+1 (𝑘∈𝑍) 时,S={s|s=4k+3, 𝑘∈𝑧 } 所以𝑇⊂S,所以𝑆∩𝑇=𝑇, 故答案为：C.

【分析】分n的奇偶讨论集合S。

3.已知命题p： ∃ x∈R，sinx＜1；命题q： ∀ x∈R， 𝑒|𝑥| ≥1，则下列命题中为真命题的是（ ） A. p ∧ q B. ¬ p ∧ q C. p ∧¬ q D. ¬ (pVq) 【答案】 A

【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用 【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题， 故答案为：A

【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。 4.设函数f(x)= 1+𝑥 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）

A. f(x-1)-1 B. f(x-1)+1 C. f(x+1)-1 D. f(x+1)+1 【答案】 B

【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质

【解析】【解答】因为 f(x)= 1+𝑥=−1+𝑥+1 ， 所以函数的对称中心是(-1,-1)，所以函数f(x)向右平移1 个单位，再向上平移1个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B满足条件， 故答案为：B。

【分析】将 函数变形为f(x)= =−1+𝑥+1后，判断。

2

1−𝑥

2

1−𝑥

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】 D

【考点】直线与平面所成的角

【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=2BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以∠𝐴𝐷1𝑂 即为所求的角，易证𝐴𝑂⊥平面BDD1B1,故𝐴𝑂⊥OD1, 又𝐴𝑂=2𝐴𝐶=2𝐴𝐷1,所以∠𝐴𝐷1𝑂＝6. 故答案为：D

【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】 C

【考点】排列、组合及简单计数问题

213

【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：𝐶5𝐶4𝐴3=

1

1

𝜋

1

240 ， 故答案为：C.

【分析】利用排列与组合来求解。

2

7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 3 个单位长度，得到函数y=sin(x- 4 )的图像，则f(x)=（ ）

A. sin( 2−12 ) B. sin( 2+12 ) C. sin( 2𝑥−12 ) D. sin( 2𝑥+12 ) 【答案】 B

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y= y=sin(x- 4 )的图像 上所有的点向左平移平移3个单位，纵坐标不变，得到𝑦=sin(𝑥+12),再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y=sin(2+12) ， 故答案为：B。 【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。

8.在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于 4 的概率为（ ） A. 4 B. 32 C. 32 D. 9 【答案】 B 【考点】几何概型

【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且 0 4的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示，

7

7

7

23

9

2

7

𝑥

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝑥

7𝜋

𝑥

𝜋

7𝜋

𝜋

𝜋

1𝜋

3

直线a+b＝ 4与正方形的两个交点分别为(4,1),(0,4),则可计算事件(a+b>4R人svyf概率为P＝1－3

7377

×4×2=32, 4

故选B。

【分析】利用几何概型解答。

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.

3123

A. B.

表高×表距+表高

表目距的差表高×表距−表高

表目距的差 4

C.

表高×表距+表距

表目距的差表高×表距−表距

表目距的差D.

【答案】 A

【考点】解三角形的实际应用

【解析】【解答】如图，连接DF,直线DF交AB于M，

则AB＝AM+BM,设∠𝐵𝐷𝑀=𝛼,∠𝐵𝐹𝑀=𝛽,则

tan𝛼−tan𝛽=𝑀𝐹−𝑀𝐷=𝐷𝐹,因为tan𝛽=𝐺𝐶,tan𝛼=𝐸𝐻,所以tan𝛼−tan𝛽=𝑀𝐵(tan𝛼−tan𝛽)=𝑀𝐵(𝐹𝐺−

𝐸𝐻𝑀𝐵

𝐹𝐺

𝐹𝐺

𝐸𝐷

𝑀𝐵

𝑀𝐵

1

1

𝐺𝐶

)=𝑀𝐵(𝐸𝐷

𝐺𝐶−𝐸𝐻𝐸𝐷

),所以𝐴𝐵=

表高×表距表目距的差

+表高。

故答案为：A.

【分析】通过作辅助线，(如图)，然后利用解直角形的知识来解答。

10.设a≠0，若x=a为函数 f(x)=a(x−a)2(x−b) 的极大值点，则（ ） A. a＜b B. a＞b C. ab＜a2 D. ab＞a2 【答案】 D

【考点】二次函数的图象，二次函数的性质

【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a5

当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2,故A错。 故答案为：D.

【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。

11.设B是椭圆C： x2+y2=1 （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 |PB|≤2b ，则C的

a

b

2

2

离心率的取值范围是（ ）

A. [√2,1) B. [2,1) C. (0,√2] D. (0,2]

2

2

1

1

【答案】 C

【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质

【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有|𝑃𝐵|2=𝑥02+(𝑦0−𝑏)2=𝑎2(1− −𝑏𝑦02−2𝑏𝑦0+𝑐2+2𝑏2≤4𝑏2,移项并用十字相乘法得到：(𝑦0+𝑏)(−

0

𝑦02𝑏2)+𝑦02−2𝑏𝑦0+𝑏2 )≤0,

𝑐2

𝑦+𝑏20

𝑐2𝑐2−2𝑏2

𝑏

因为−𝑏≤𝑦𝑜≤𝑏,故𝑦0+𝑏≥0,故−2𝑦0+

𝑏

𝑐2𝑐2−2𝑏2

𝑏

≤0恒成立，即−𝑏2(−𝑏)+

𝑐2𝑐2−2𝑏2

𝑏

≤0恒 成立，

6

据此解得𝑎2≥2𝑐2,故𝑒∈(0,√2] ，

2

故答案为：C。

【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2 ， 再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。

12.设 a=2ln1.01 ， b=ln1.02 ， c=√1.04−1 ，则（ ）

A. a＜b＜c B. b＜c＜a C. b＜a＜c D. c＜a＜b 【答案】 B

【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质

【解析】【解答】构造函数f(x)=ln(1+x)-√1+2𝑥+1 ， 则b-c=f(0.02)，则𝑓/(𝑥)=1+𝑥−2√1+2𝑥=

√1+2𝑥−(1+𝑥),当(1+𝑥)√1+2𝑥1

2x>0时，1+𝑥=√(1+𝑥)2=√(1+2𝑥+𝑥2>√(1+2𝑥, 所以f/(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减，所以f(0.02)所以𝑔/(𝑥)≥0,所以g(x)在（0，2）上单调递增，所以𝑔(0.01)>𝑔(0)=0,即𝑎>𝑐,所以b【分析】本题就在于构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，从而解题。

21+𝑥

−42√1+4𝑥=

2√1+4𝑥−2(1+𝑥), (1+𝑥)√1+4𝑥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）

13.已知双曲线C： x−y2=1 （m>0）的一条渐近线为 √3x +my=0，则C的焦距为________.

m【答案】 4

【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质 【解析】【解答】因为又曲线方程C： 所以双曲线方程是 故答案为：4

【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。

⃗⃗ ）⊥ 𝑏⃗⃗ ， 则λ=________。 14.已知向量 𝑎⃗ =（1，3），b=（3，4），若（ 𝑎⃗ -λ 𝑏【答案】 5

【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】因为𝑎=(1,3),𝑏=(3,4),⇒𝑎－𝜆𝑏=(1−3𝜆,3−4𝜆),(𝑎－𝜆𝑏)⊥𝑏 ， 所以(𝑎－𝜆𝑏)×𝑏

⇀

⇀

⇀

⇀

⇀

⇀

⇀

⇀

⇀

⇀

3

𝑥23

𝑥2𝑚

2

−𝑦2=1(𝑚>0),一条渐近线是√3𝑥+𝑚𝑦=0,则 𝑚=3 ，

−𝑦2=1 ,2𝑐=2√𝑚+1=4,

＝0 ，

所以(3,4)×(1−3𝜆,3−4𝜆)＝0⇒𝜆＝5 ，

3

7

故答案为：5.

【分析】先计算出⇀𝑎－𝜆𝑏的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。

15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 √3 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________. 【答案】 2√2

【考点】余弦定理，三角形中的几何计算

【解析】【解答】𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑎𝑐sin𝐵=𝑎𝑐sin600=√𝑎𝑐=√3⇒𝑎𝑐=4,

224 于是𝑏=√𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵=√𝑎2+𝑐2−𝑎𝑐=√2𝑎𝑐=2√2 【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。

16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）.

1

1

3⇀

3

【答案】 ②⑤或③④ 【考点】由三视图还原实物图

【解析】【解答】当俯视图为 ④ 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图； 当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图， 故答案为： ②⑤或③④

【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 ̅ ，样本方差分别记为s12和s22 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 𝑥̅ 和 𝑦̅ ， s12 ， s22； （1）求 𝑥̅ ， 𝑦

8

̅ - 𝑥̅ ≥ 2√𝑠1+𝑠2 ，则认为（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 𝑦

2

22

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 【答案】 （1）解：各项所求值如下所示

𝑥̅ = 10 (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0 𝑦̅ = 10 (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3

2 = 𝑠1

10

111

x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36，

2222222 = x[(10.0-10.3)+3x(10.1-10.3)+(10.3-10.3)+2x(10.4-10.3)+2x(10.5-10.3)+(10.6-10.3)]=0.4. 𝑠2

10

1

̅ - 𝑥̅ =0.3，2 √𝑠1+𝑠2 ≈0.34 （2）由(1)中数据得 𝑦

10

2

2

̅ - 𝑥̅ ＜2 √𝑠1+𝑠2 ，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。 显然 𝑦

10

22

【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差

【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数𝑥,𝑦 ， 再直接用公式计算 s12 ， s22；

(2)由 (1)中的数据，计算得： 𝑦̅ - 𝑥̅ =0.3，2 √𝑠1+𝑠2 ≈0.34 ， 显然 𝑦̅ - 𝑥̅ ＜2 √𝑠1+𝑠2 ，可得到答案。

10

10

2

2

2

2

18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，

（1）求BC；

（2）求二面角A-PM-B的正弦值。

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为【答案】 （1）解：因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以 𝐷𝐴x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。

9

设BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（ 𝑡

2 ，1，0），P(0，0，1)，所以 ⃗⃗𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ =（t，1，-1），（ −1

2 ，1，0），

因为PB⊥AM，所以 ⃗⃗𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ • ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴𝑀 =- 𝑡2

2 +1=0，所以t= √2 ，所以BC= √2 。

（2）设平面APM的一个法向量为 𝑚

⃗⃗⃗ =（x，y，z），由于 ⃗𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √2 ，0，1），则 𝑚•⃗AP⃗⃗⃗⃗⃗=−√2𝑥+𝑧=0

{𝑚•⃗AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−√2 2𝑥+𝑦=0

令x= √2 ，得 𝑚

⃗⃗⃗ =（ √2 ，1，2）。 设平面PMB的一个法向量为 𝑛

⃗⃗ =（xt ， yt ， zt），则 {

𝑛•⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√2𝑥𝑡=𝑛•⃗PB

⃗⃗⃗⃗⃗=CB0√2𝑥𝑡+𝑦𝑡−𝑧𝑡=0 令 𝑦𝑡 =1，得 𝑛

⃗⃗ =(0，1，1). 所以cos（ 𝑚

⃗⃗⃗ ， 𝑛⃗⃗ ）= 𝑚•𝑛

33√1470|𝑚||𝑛| = √7×√2 = 14

，所以二面角A-PM-B的正弦值为 √14

. 【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，通过计算求解； （2）呈上，分别求二面角的两个平面的法向量，用法向量的夹角计算。 19.记S21

n为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项和，已知 𝑆𝑛

+𝑏𝑛

=2.

（1）证明：数列{bn}是等差数列； （2）求{an}的通项公式.

【答案】 （1）由已知 2𝑆 + 1

𝑏𝑛

𝑛

𝑏𝑛

=2，则 𝑏

𝑛+1

=Sn(n≥2)

⇒

2𝑏𝑛−11=2 ⇒ 2bn-1+2=2bn ⇒ bn-bn-1= 1

3

𝑏𝑛

+ 𝑏𝑛

2 (n≥2)，b1= 2

故｛bn｝是以 31

2 为首项， 2 为公差的等差数列。

10

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴𝑀 =

（2）由（1）知bn= 2 +（n-1） 2 = n=1时，a1=S1= 2 n≥2时，an=Sn-Sn-1= 𝑛+1 -

32

𝑛+2

𝑛+1𝑛

3

3

1

𝑛+22

，则 𝑆 + 𝑛+2 =2 ⇒ Sn= 𝑛+1

𝑛

22𝑛+2

= −𝑛(𝑛+1)

1

故an= {1

−𝑛(𝑛+1),𝑛≥2

【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，数列递推式 【解析】【分析】（1）根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。 （2）呈上，先写出bn,再求{bn}前n磺的和 Sn ，再由 an与 Sn 的关系，进一步求得结果。 20.设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。 （1）求a； （2）设函数g（x）=

𝑥+f（x）𝑥f（x）,𝑛=1

，证明：g（x）＜1.

【答案】 （1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x) 当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0，所以a=1

（2）由f(x)=ln(1-x)，得x＜1

当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0 故即证x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0

令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t，即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0 令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt， 则f′(t)=-1- 𝑡 -[(-1)lnt+

1

1−𝑡𝑡

]=-1+ 𝑡 +lnt-

11−𝑡𝑡

=lnt

所以f(t)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0，得证。 【考点】利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用

【解析】【分析】（1）先对函数 y=xf（x）求导： [xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)，因为x=0是方程的根，代入求得a值。

（2）首先由（1）写出函数f(x),并求其定义域，将问题转化为证明 x+f(x)＞xf(x)，即证：x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0 ，然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。

21.己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4. （1）求p；

（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 Δ PAB的最大值. ) 到 x2+(y+4)2=1 的最短距离为 P+3=4 ，所以p=2. 【答案】 （1）解：焦点 F(0,P22（2）抛物线 y=4x2 ，设A(x1 ， y1），B(x2 ， y2)，P(x0 ， y0)，则

1

11

l𝑃𝐴

2

=y=2x1(x−χ)+y1=2𝑥1𝑋−4𝑥1=2𝑥1𝑥−𝑦1 ，

1

22=2𝑥2𝑥−𝑦2 ，且 x0=−y0−8y0−15 . 1

1111

l𝑃𝐵:𝑦

=x1x0−y1,112

:𝑦=𝑥𝑥−𝑦𝑦=𝑥𝑥−𝑦0 . P(x y {，都过点，），则故，即00𝐴𝐵00𝑃𝐴𝑃𝐵1lll220

y0=2x2x0−y2,

y0

𝑦=2x0𝑥−y02

，得 x2−2x0x+4y0=0 ， Δ=4x0−16y0 . 联立 {

2

x=4𝑦所以 |S△𝑃𝐴𝐵

AB|=√1+

1

2x01

1

4

222⋅√x0−4y0 ， d𝑃→𝐴𝐵⋅√4x0−16y0 = √4+x0

1

3

=

2−4𝑦||𝑥002+4√𝑥0

，所以

3

21222=|𝐴𝐵|⋅d𝑃→𝐴𝐵 = |x0−4y0|⋅√x0−4y0 = 1(x42 = (−−4)0yy02222

2

−12y0−15) .

而 y0∈[−5,−3] .故当y0=-5时， S△𝑃𝐴𝐵 达到最大，最大值为 20√5 . 【考点】圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的应用

【解析】【分析】（1）因为F点到圆上距离最小的即为F到圆心的距离减去半径1，据此得到结果； （2）由（1）写出抛物线的标准方程 ，分别设出切点A,B的坐标，及P（在圆M上）的坐标，分别写出两条切线的方程，利用A,B都过P点，建立方程求解。最后通过三角形PAB面积表达式，研究最值。

四、［选修4一4：坐标系与参数方程］（共1题；共10分）

22.在直角坐标系xOy中， ⊙ C的圆心为C（2，1），半径为1. （1）写出 ⊙ C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）过点F（4，1）作 ⊙ C的两条切线， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.

𝑥=2+𝑐𝑜𝑠𝜃

（1） （ θ 为参数). 【答案】因为 ⊙ C的圆心为(2，1)，半径为1.故 ⊙ C的参数方程为 {

𝑦=1+𝑠𝑖𝑛𝜃（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0. 故

|2𝑘−1−4𝑘+1|√1+𝑘2 =1

即|2k|= √1+𝑘2 ，4 𝑘2 = 1+𝑘2 ， 解得k=± √ .

3

33故直线方程为y= √ (x-4)+1， y= −√ (x-4)+1

3

3

33故两条切线的极坐标方程为 ρ sin θ = √ cos θ - 3√3 +1或 ρ sin θ = √ cos θ + 3√3 +1.

3

3

4

4

3【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程 【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程；

（2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。

五、[选修4一5：不等式选讲]（共1题；共10分）

23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.

12

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集； （2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.

【答案】 （1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集. 当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2;

当-3（2）f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值. 当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞-a. A≥-3时，2a+3>0，得a>- 2 ；a<-3时，-a-3>-a，此时a不存在. 综上，a>- 2 .

【考点】不等式的综合

【解析】【分析】（1)当a=1，写出 f(x)=|x-1|+|x+3| ，进一步分段讨论去值，解不等式； （2）只要保证 f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.

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