维普资讯 http://www.cqvip.com ２００７年第２，４期 数学通讯 ２９ 椭圆、双曲线焦点弦三角形的若干性质 彭海燕 （佛山市南海中学，广东 ５２８２１１） 椭圆、双曲线有许多优美有趣的性质， 本文拟给出焦点弦三角形——焦点弦的两 个端点Ａ，Ｂ与椭圆（双曲线）的中心０所构 Ｙ１），Ｂ（ｘ２，Ｙｚ）．由 ［＇５２Ｘ ＋ａ２ｙＺ—ａ２ｂｚ一０， ｛Ｙ一是（ｚ＋ｃ） 消去Ｙ并整理得（６２＋ａ２愚 ）ｚ ＋２ａ 愚 口＋ （ａＺｋ ｃ 一ａ ｂｚ）一０． 成的△ＯＡＢ为直角三角形的几条性质，同时 给出其几点应用． 性质１ 椭圆（双曲线）ｘ ｚ １． ｙＺ＝１（ｎ ＞６＞ｏ）‘ 一 １，ｎ＞ｏ，６＞ｏ）的通径 恻ｚ 一 ｎ 愚 ｃ２一ｎ２ｂｚ ， 一１ 从而 广’ （弦的斜率不存在）与椭圆（双曲线）交于Ａ， 两点，ｃ为半焦距，０为椭圆（双曲线）中心， 贝ｌＪ，△ＯＡＢ为直角三角形的充要条件是ｂ 口ｃ． ＸｌＸ２－４－ＹｌＹｚ—ＸｌＸ２－４－量 （ｚ１－４－ｃ）（ｚ２＋ｃ） （１－４－愚 ）ｚ１Ｘ２－４－愚 ｃ（ｘ１＋Ｘ２）＋愚 ｃ。 证明 椭圆（双曲线）的通径长为丝， 则／ｋＯＡＢ为直角三角形学 一ｃ，也即６２＝ ：＝＝～６２＋ ｂ２ ＋ｎ ．扩，＋ ｃ２ 。“ 一愚 ｃ２（ｎ ＋ｂ ）一ａ２ｂ （１＋愚 ） ／ｋＯＡＢ为直角三角形学ＱＡ上０Ｂ铮ｏ－ｆ ｏ镁ｚ１ｚ２＋ １Ｙ２一。园愚。ｃ （口２－ｔ－ｂｚ）一 ）＿ 一 ． 推论１ 椭圆（双曲线） ＋ 一１（ｎ ｂＺ（１ ＞６＞？）‘ ｘｚ一 ｙＺ＝１，ｎ＞ｏ，６＞ｏ）的通径 与椭圆（双曲线）交于Ａ，Ｂ两点，０为椭圆 （双曲线）中心，则／ｋＯＡＢ为直角三角形的 充要条件是椭圆（ＹＲ曲线）的离心率 性质３ 已知过￣从凹袭 Ｘｚ１（６＞ ａ＞Ｏ）的焦点的直线ｚ（斜率存在）与双曲线 交于Ａ，Ｂ两点，０为双曲线中心，则△ＯＡＢ 为直角三角形的充要条件是 愚。一 （ 一 ）． 性质２ 已知过椭圆 ＋菩一１ａ。 ６。 （ｎ＞ ｂ＞Ｏ）的焦点的直线ｚ（斜率存在）与椭圆交 于Ａ，Ｂ两点，０为椭圆中心，则△ＯＡＢ为直 证明过程同性质２的证明过程类似，留 给读者完成． 推论２ 已知过双曲线 一’ ２２—１（ｎ 角三角形的充要条件是直线的斜率愚满足 ．， 一 ｎ２ｂｚ ＝ ≥ｂ＞Ｏ）焦点的直线ｚ（斜率存在）与双曲线 交于Ａ，Ｂ两点，０为双曲线中心，则△ＯＡＢ 不可能为直角三角形． 例１ 设Ｆ为椭圆Ｘ ｇ十 ｇ＝１（ｎ＞６＞ ‘ 证明 不妨设直线过左焦点Ｆ （一ｃ， Ｏ），则直线岫勺方程为 ＝愚（ｚ＋ｃ）．设Ａ（ｘ ， 维普资讯 http://www.cqvip.com ３０ 数学通讯 ２００７年第２，４期 ０）右焦点，若存在直线ｌ过点ｆ’交椭圆于Ａ， ＞ ， Ｂ两点，ＬＡＯＢ：要，则椭圆的离心率 的 所以 ＜ ５２＜２取值范围是解 当直线ｌ上 轴时，则由推论１得 其离心率 一 ． 又等 ＿１＇故 ＜ ３ 当直线ｌ的斜率存在时，由性质２可知 ＜ ＜ 五。一 ｏ． 综上可得 ≤ ＜ 即 ｎ‘一ａ。ｂ。一ｂ‘＞０，从而 例３ 双曲线的中心在坐标原点，焦点 ｌ＋ ５２ｎ‘Ｉ ａ２ １＜＼ ０，’ ． 解之得 在ｚ轴上，过双曲线的右焦点且斜率为√詈 的直线交双曲线于Ｐ，Ｑ两点．若ＯＰ上∞， ０＜ ＜ ， Ｉ ＰＱ Ｉ＝４，求双曲线的方程． 口。 Ｚ 又 ５２解 设双曲线的方程为 一 一１（口 １一Ｐ２， Ⅱ ＞０，ｂ＞Ｏ）． 因而 ＜ ｚ＜１， 由于ＯＰ上∞，则由性质３可知，６＞ ＞０，且 一 ３， ｎ‘＋８ 。一 所以 ＜ ＜１， ． ３ｂ‘＝０，解之得ｂ。一３ａ。．从而ｃ＝２ａ． 综上可得 ≤ ＜１． 另一方面，依题意知，点Ｐ（ｘ ，ｙ ！， Ｑ（ｘｚ，ｙ：）的坐标满足方程组 例２一 ｒ３ｘ。一 。一３ａ。一０’ 设Ｆ（ｃ，０）是双曲线 一 １（口＞０，ｂ＞０）的右焦点，若存在直线ｌ过点 Ｆ交双曲线的右支于Ａ，Ｂ两点， ＡＡＯＢ一 １ ： ｃｚ ， 消去 并整理得 要（其中０为坐标原点），则双曲线离心率的 ４ｘ。＋４ａｘ一９ａ。一０取值范围是则ｚ１＋ｚ２：一口，ｚ１ｚ２：－—－＿９ｒａ一￣， 解 当直线ｌ上ｚ轴时，则由推论１得 其率心率 一￣—／－ｇ１又Ｉ ＰＩＱ Ｉ＝ ＩＸ 一ｚ：Ｉ ＋百； ［ ｚ ４ｘｌｘ２７ 当直线ｌ的斜率存在时，由于直线ｌ交双 曲线的右支于Ａ，Ｂ两点，从而ｋ２＞ ，则由 ×１０口２ ４， 口。 性质３可知 。 解得口。一１． 将口。一１代人ｂ。一３ａ。，得ｂ。一３． ＞ ， 故所求双曲线的方程为 即 一 ６２一 ｔ＜ｏ，解之得ｏ＜ ＜２， ｚｚ等＿１． 此外由 一口ｚ ６２一口ｔ＞０，可得 ５２ （收稿日期：２００６—０７—２８ Ｊ
