无法兑现的诺言
——由此引出的数列漫谈
一. 无法兑现的诺言
有一位国王厌倦了宫中所有的游戏，下令说如果谁能发明使他开心的游戏他将重赏谁。当时的宰相达依尔便将自己发明的国际象棋献给国王，国王果然玩得很高兴决定重赏达依尔。可达依尔金银财宝全不要，只是对国王说:“您只要在这棋盘第一格放1粒麦子，第二格放入2粒麦子，如此下去每一格放得麦子数比前一格加一倍直至把格放满，您只要把这些麦子赏给我就行了。”国王听完满口答应。可结果却是国王做梦也想不到的，他永远无法兑现自己的诺言。
为什么呢？我们来替国王算一算：1，2，2×2，2×2×2，2×2×2×2，……在这个等比数列中国王将付出1+2+2+2+2+2+……+2=2-1=18446744073709551615。这个数字代表的大概是五千多亿吨，就当时代生产力水平而言需要全世界的耕地种二千年才能完成的产值。这个看似小小的数列产生的结果大概也是你我所想不到的吧。
那么，数列还有什么有趣的地方呢？让我们再来看一看。
二．著名的有趣的斐波那契数列（简称兔子数列）：
一对刚出生的幼兔（公母各一只）经过1个月长成成年兔，成年兔再经过一个月可以繁殖出一对幼兔。若不计兔子的死亡数。问一年之后共有多少对兔子？
我们先来看一下这个数列:1, 1，2，3，5，8，13，21，34，55，，144…….，看
到这个数列大家一定不陌生，而且寻找规律后一定能填出144的后面是233，那么这个233就是一年后的兔子的对数，并且数列的各项依次给出了各个月大兔子的对数。这就是著名的斐波那契数列。因为是由兔子引发的讨论所以我们也叫它兔子数列。它的规律即是从第三项起每一项等于它的前两项之和。可为什么说它有趣呢？因为自然界许多现象的解释最后都能归结到兔子数列上来。例如：
（1）向日葵种子的排列方式有顺时针和逆时针两组螺旋线，虽然向日葵品种不同，但种子顺逆时针方向的螺旋线数量往往不会超出34和55，55和，和143这3组数字，每组数字就是兔子数列中相邻的两个数。
（2）在菊花花盘的形排列中，也有类似的数学模式。向右转动有21条，向左转动有34条。菠萝果实上的灵性鳞片，一行行排列起来，8行向左倾斜，13行向右倾斜。
（3）常见的落叶松是一种针叶树，其松果上的鳞片在两个方向上各排成5行和8行。挪威云杉的球果在一个方向上有3行鳞片。在另一个方向上有5行鳞片，美国松的松果鳞片则在两个方向上各排成3行和5行。
还有许多这种现象如树木的生长，蜜蜂家族的繁殖数目等等。为什么会有这么多“巧合”呢？这是生物在动态过程中必然产生的结果，生物现阶段的生长自然会受到它前一个阶段生存状态的影响，所以其数目会表现出递推的关系，而用递推关系表示数量关系的兔子数列就能够和生命现象联系起来。
兔子数列还有许多奇特的性质，例如：
（1） 兔子数列与黄金分割值：从第3个数起，每个数与它后面那个数的比值都很接
近0.618，而且随着序号的增加而更加接近。兔子数列是：2，3，5，8，13，21，34，55，， 那么计算如下：2：3=0.66；3：5=0.6; 5：8=0.625; 8:13=0.615; 13:21=0.619; 21:34=0.6176； 34：55=0.61818。
更甚你随便选两个整数然后按照兔子数列的规律算下去，两数之间比值也会逐渐逼近黄金分割值的。我们就选5和7来试一试吧。5和7按兔子数列的规律排列是：5，7，12，19，31，50，81，131，212，
计算如下：5:7=0.714; 7:12=0.583; 12:19=0.631; 19：31=0.612; 31:50=0.62; 50:81=0.617; 81:131=0.618;
( 2 )兔子数列从第二项开始，每个奇数项的平方都比它的前后两项之积多1，而每个偶数项的平方都比它的前后两项之积少1。
例如：奇数项2＾2=1×3+1； 5＾2=3×8+1； 13＾2=8×21+1； 34＾2=21×５５＋１；……
偶数项３＾2=2×5-1； 8＾2=5×13-1；21＾2=13×34+1； 55＾2=34×+1；……
看了这些之后你是不是也对数列产生了兴趣呢，那么接下来我们再看看数列可以解决哪些实际问题呢？
三. 数列知识在生活中的应用：
（1）某市提出了实施“校校通”工程的总目标，从2001年起用10年时间在全市中小学建成不同标准的校园网。据测量2001年该市用于“校校通”工程的经费是500万元，
为了保证工程的顺利实施计划每年投入资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内该市在“校校通”工程中总投入资金是多少？
解题之前我们先复习一下高斯求和定的公式：
1+2+3+4+……+n=(n+1)n/2
解：根据题意从2001年——2010年，该市每年投入“校校通”的经费都比上一年增加50万元，所以可以建立一个等差数列,an表示从2001年起各年投入的总资金，a1=500万元，d=50万元，n=10年, 那么到2010年的资金投入总额
此题通过建立数列利用高斯求和公式很快就求出来了。
（2） 住房贷款中等额还本利息的计算方法：
随着人民生活水平的提高，想通过贷款买房以改善居住条件的人越来越多，按揭贷款都实行按月等额还本付息，这个数额如何得来的？此外若干月后还应归还银行多少本金，如何做到心中有数呢？
例如：某人买了一套100平米的三居室，总价42万元，他需贷款20万元，15年还清，年利率为5.58%，那么他应每月还款多少元呢？
解：贷款本金m=20万元，年利率P=5.58%，还款期限n=15年，月供用x表示，那么：
X=
(3)魔术中的应用：
一位魔术师拿一块边长8英尺的正方形地毯对他的地毯匠朋友说：请您把这块地毯分成四小块后再把它们缝成长为13英尺宽5英尺的长方形地毯，这位匠师对魔术师算术之差感到惊讶，因为两块地毯之间面积差达1平方英尺，可魔术师竟让匠师用下图所示办法达到了他的目的，那么这种神奇的一平方英尺是从哪里跑来的呢？
为何=65？其实这是我们前面提到的兔子数列的奇特性质哄骗了您，5，8，13是费氏数列中相邻的三项，8=5×13-1，事实上前后两块面积确实差1，只不过后面那个图中有一条狭长的缝隙，一般人不容易看到而已。
四. 以上只是我对数论非常肤浅的认识，更多的更深奥的知识理论还有待在今后的学习中逐步了解，数论作为一行古老纯粹的学问已渐渐进入到现代科学领域中，如编程.密码学.金融等等方面，离我们的生活越来越近。
华罗庚说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学，”让我们爱数学，学数学，用数学，从而使我们生活的更加美好。
最后让我们一一首轻松的童谣结束吧：
一只青蛙一张嘴，两只眼睛，四条腿；
两只青蛙两张嘴，四只眼睛，腿；
……
