第七章
【知识重点】 一．认识三角形
1．对于三角形的观点及其按角的分类
定义：由 不在同向来线 上的三条线段 首尾按序相接 所构成的图形叫做三角形。 2．三角形的分类：
①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 ②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。 2．对于三角形三条边的关系（判断三条线段 依据公义“ 两点之间，线段最短 三角形随意两边之和大于第三边。
三角形随意两边之差小于第三边。
：三角形的角均分线、中线和高
3．与三角形有关的线段．．
三角形的角均分线：三角形的一个角的均分线与对边订交形成的线段；
”可得：
三角形
可否构成三角形 的方法、 比较线段的长短 ）
三角形的中线：连结三角形的一个极点与对边中点的线段，三角形随意一条中线将三角形分红 面积 相等的
两个部分；
三角形的高：过三角形的一个极点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。 注意：①三角形的角均分线、中线和高
都是线段 ，不是直线，也不是射线；
②随意一个三角形都有三条角均分线，三条中线和三条高；
③随意一个三角形的三条角均分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不一样的地点：
锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰巧是它两条直 角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外面。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角均分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的 交点是直角极点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外面。 4．三角形的内角与外角
（ 1）三角形的内角和： 180°
引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形
中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中起码有两个内角是锐角。
（ 2）三角形的外角和： 360° （ 3） 三角形外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度 ②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。——常用来比较角的大小 5.多边形的内角与外角
正 n 边形 内角和 外角和 每一个内角
（三
）
多边形的内角和与外角和（识记）
3 180° 360° 60°
4 360 ° 360 ° 90°
5 540 ° 360 ° 108 °
6 360 ° 120 °
8 360° 135°
10 360° 144°
12 360° 150°
15 360° 158°
720 ° 1080 ° 1440° 1800° 2340°
(n 2)180 或180
n
每一个外角
360 n
120°
90° 72° 60° 45° 36° 30° 22°
180
(n 2)180 或 360
nn
（ 1）多 形的内角和： （ n-2） 180° （ 2）多 形的外角和：
360°
引申：（ 1）从 n 形的一个 点出 能作（
（ 2）多 形有
n-3）条 角 ；
n(n3)
条 角 。
n 形分红（ n-2）个三角形；
2
（ 3）从 n 形的一个 点出 能将
※ 6． 嵌
（ 1）同一种正三 形、正四 形、正六 形能够 行平面 嵌；
（ 2）正三角形与正四 形、正三角形与正六 形⋯⋯能够 行平面 嵌； （ 1）同一种随意三角形、随意四 形能够 行 嵌。 【典型例 】 三角形的分
例 1：具 以下条件的三角形中，不是直角三角形的是（ A：∠ A+∠ B=∠ C
B：∠ A=∠ B=
∠ C C：∠ A=90° -∠B
B ）。
D：∠ A-∠B=90
(D )．
例 2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的 角
A． 60°
B．120°
C． 60°或 150°
30°， 角的度数
D． 60°或 120°
如 ， ∠1+∠ 2+∠ 3+∠4 等于多少度；（ 280°）
3
1
40 ?
2
4
图4
：
1、如 ，以下 法 的是 A、∠ B >∠ ACD
( A )
B、∠ B+∠ACB =180°－∠ A D、∠ HEC >∠ B
C、 角三角形
C、∠ B+∠ ACB <180° A、直角三角形
2、若一个三角形的一个外角小于与它相 的内角， 个三角形是
B、 角三角形
三角形的内角和、外角和有关的 算与 明 例 1：若三角形的三个外角的比 A． 角三角形 ：
A. 125°
( C ).
D、没法确立
3：4： 5， 个三角形 （
C．等 三角形
B ）．
B．直角三角形
D． 角三角形
例 2：已知等腰三角形的一个外角 150°， 它的底角 _______.
1、如 ，若∠ AEC=100°，∠ B=45°，∠ C=38°， ∠ DFE 等于 ( A )
B. 115°
C. 110°
D. 105°
2、如 ，∠ 1=______. A
A
D
F B
1
C
80
3
H
140
2 50
E
150 1
3题图
E
_1 题图
2题图
B
C
4题图
D
3、如 ， ∠ 1=______,∠ 2=______,∠3=______, 4、已知等腰三角形的一个外角是
120°， 它是 (
C )
A.等腰直角三角形 ( C )
B.一般的等腰三角形 C.等边三角形
D.等腰钝角三角形
5、假如三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为
A. 30°
180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为
B. 60°
C. 90°
D. 120°
6、已知三角形的三个外角的度数比为 A. 90°
B. 110°
C. 100°
2∶ 3∶ 4，则它的最大内角的度数 D. 120°
( D ).
例 7.如图（ 1）所示，△
中， 的均分线交于点 ，
求证：
.
（1）（ 2） （ 3）
变式 1 ：如图（ 2 ）所示，△
中，内角
和外角
求证：
.
的均分线交于点
，
变式 2 ：如图（ 3）所示，△
中，外角 的均分线交于点 ，
求证：
.
的内角均分线和外角均分线，进而想到可利用三角形角均分线的性质，三角
剖析： 本题已知△
形的内角和定理以及外角与内角的关系证题。
解答： 如图（ 1），∵在△
中，
又∵
的均分线交于点 ，
∴
变式 1：∵ ∵ 均分
是△
的一个外角，∴
， 均分 ，且 是△ 的外角，
∴
，即
∴
2 ：在△
中，
变式 在△
中，
∵
均分 ，且
三点共线，
∴
，同理可证
∴
∴
例 5.已知：如图，在△
中，
， 分别是边 上的高，
订交于
，求 的度数。
剖析： 由已知可求
， 在△ 中，故先求 和 。
解答： ∵
∴设
，则
∴
，解得
∴
∵
为 边上的高，∴
∴在 中，
同理
∴在△
中，
例题 1：若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ A． 三角形 B．六边形 C．五边形 D．四边形 例题 2：以下说法错误的选项是（ A ） A．边数越多，多边形的外角和越大
A ）
B．多边形每增添一条边，内角和就增添
180°
120°
9.
C．正多边形的每一个外角跟着边数的增添而减小 例题 3：一个多边形内角和与此中一个外角的总和为 例题 4：一个多边形的每一个外角都是 练习：
A、 6
D．六边形的每一个内角都是 1360°这个多边形的边数为
24°，则此多边形的内角和（
B ）
A．2160 ° B． 2340 ° C． 2700° D．2880°
1．一个多边形内角和是 10800，则这个多边形的边数为
（ B ）
D、 9 C )
）
D、 八边形
B、 7
C、 8
C、 六边形
2．一个多边形的内角和是外角和的
A、 四边形 A. 180° A、八边形
B、 五边形
2 倍，它是（
( A
3．一个多边形的边数增添一倍，它的内角和增添
B. 360° B、十边形
C. (n-2)·180° D. C、十二边形
n ·180
4、若一个多边形的内角和与外角和相加是 5、正方形每个内角都是
1800°，则此多边形是 ( B D、十四边形
)
_90° _____，每个外角都是 ___90° ____。
6、多边形的每一个内角都等于 150°，则此后多边形一个极点出发引出的对角线有
_11_____。
9条。
7、正六边形共有 ___9____条对角线，内角和等于 8、内角和是 1620 °的多边形的边数是 9、假如一个多边形的每一外角都是
____720° ______，每一个内角等于 __120°_____。
24°，那么它是 __15____边形。
5∶ 2，则这个多边形的边数为
10、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和 11、一个多边形的内角和与外角和之比是 12、一个多边形截去一个角后
13.已知一个十边形中九个内角的和的度数是 考点六：镶嵌 例题 1：装饰大世界销售以下形状的地砖：
___180°或 360° _。 __8____。
150度.
,所得的新多边形的内角和为
2520° ,则原多边形有 _15 或 16 或 17___条边。
12900，那么这个十边形的另一个内角为
○ ○
B
○
3 正五边形；
○
4 正六边形。若只选
1 正方形； 2 长方形；
）
购此中某一种地砖镶嵌地面，可供采用的地砖有（
A. ○1 ○2○3
B. ○1 ○2○4 C. ○2 ○3○4 D. ○1 ○3○4
例题 2：边长相等的以下两种正多边形的组合，不可以作平面镶嵌的是 A.正方形与正三角形
练习：
( B )
B.正五边形与正三角形
C.正六边形与正三角形
D.正八边形与正方形
1. 以下正多边中，能铺满地面的是
（A、正方形 B、 正五边形
）
C、 等边三角形 D、 正六边形
2. 以下正多边形的组合中，不可以够铺满地面的是( D ).
A.正六边形和正三角形
A、1
B、 2
C、 3
D、 4
B.正三角形和正方形
C.正八边形和正方形
D.正五边形和正八边形
3. 用正三角形和正十二边形镶嵌，可能状况有( B )种 .
4. 某装饰企业销售以下形状的地砖：①正方形；②长方形；③正五边形；④正六边形 种地砖镶嵌地面，可供采用的地砖共有( C )种.
.若只选购此中某一
A、1 B、 2 C、3 D、4
小李家装饰地面， 已有正三角形形状的地砖， 现打算购置另一种不一样形状的正多边形地5. 砖，
地砖在同一极点处作平面镶嵌，则小李不该购置的地砖形状是
与正三角形
( C )
A、正方形 B、正六边形 C、正八边形 D、正十二边形
6. 用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个极点四周，能够有 7. 如图，第 n 个图案中有白色地砖 _（4n+2）____块.
_3__个正三角形和 _2__个正四边形。
_第1个
_第2个 _第3个
，求多边形的边数。
8.多边形的内角和与某一个外角的度数总和为
剖析：利用多边形的内角和公式来求，此外本题隐含边数为正整数这个条件。 解答：设边数为
，这个外角为 ，则 ，依题意有：
∴
∵ 为正整数，∴（
）必为 180 的倍数。
又∵ ，∴ ，∴
