第二篇投影制图
第五章立体表面的交线
第五章立体表面的交线
目录第一节立体表面求点第三节立体间的交线第二节立体的截交线第五章立体表面的交线
【学习目的】掌握工程结构形体上截交线和相贯线的形成、类型和特点；掌握立体表面求点的方法与可见性分析；掌握立体表面截交线和相贯线的求法与可见性分析。【学习要点】立体表面求点；立体的截交线；立体间的交线、立体表面截交线和相贯线的求法。第五章立体表面的交线
工程结构的构成是较复杂的，主要是由叠砌和切削形式形成的，故其表面具有很多交线。如图5-1所示。工程结构表面的交线分为截交线和相贯线两种。平面与立体所产生的表面交线称为截交线。两立体间相交所产生的表面交线称为相贯线。第五章立体表面的交线
由于求立体表面的交线，实质是求立体表面交线上的点的连线，因此
首先要掌握立体表面取点的方法。
图5-1 工程结构表面交线实例
第一节立体表面求点
一、立体表面求点
（一）立体表面点的类型
根据立体表面点的分布特点，我们可将立体表面点分为以下几类，如图5-2所示：
图5-2 立体表面点的分类
Ⅰ类点：此类点分布在立体表面的轮廓线或底面边线上。Ⅱ类点：此类点分布在立体具有积聚性的表面上。Ⅲ类点：此类点分布在立体任意位置面的表面上。
（二）立体表面点的求法
图5-2 立体表面点的分类
（二）立体表面点的求法
由于立体分为平面体和曲面体两大类，因此立体表面点的求法要根据点在立体表面位置的类型来确定，如图5-3所示。
（1）Ⅰ类点：由于点在立体表面的轮廓线上，可利用从属性和定比性直接求出。
图5-3立体表面点的求法(a)
（二）立体表面点的求法
图5-3立体表面点的求法(c)
（二）立体表面点的求法
（2）.Ⅱ类点：由于点所在的立体表面具有积聚投影，可利用积聚性直接求出，见图5-3（a）、图5-3（c）所示。求解分析：根据读图分析，三棱柱和圆柱由于投影摆放的考虑，三棱柱和圆柱的一些表面（线）具有积聚投影。据图中点的分布来分析：有些在立体的轮廓线上，此类点可判别为Ⅰ类点；一些在立体具有积聚投影的表面上，此类点可判别为Ⅱ类点；因此，上述各点可依据从属性和积聚性直接求出其它投影，并同时进行可见性分析，作图过程见图所示。图5-3立体表面点的求法(a)
（二）立体表面点的求法
图5-3立体表面点的求法(c)
（二）立体表面点的求法
（3）.Ⅲ类点：由于所在的立体表面为任意位置面，平面体可采用辅助直线法，见图5-3（b）所示；回转曲面体可采用辅助素线法（直母线回转体）和辅助圆法，见图5-3（d）所示。求解分析：根据读图分析，点所在的三棱锥和圆锥表面为一般位置表面，其三投影均反映类似性，此类点可判别为Ⅲ类点；因此，上述各点应采用辅助直线法（三棱锥）和辅助圆法或辅助素线法（圆锥）求出点的其它投影，并同时进行可见性分析，作图过程见图所示。（二）立体表面点的求法
图5-3立体表面点的求法(b)
（二）立体表面点的求法
图5-3立体表面点的求法(d)
二、立体表面点的可见性分析
由于投影方向的原因，立体表面上分布点会因为立体轮廓的遮挡，其投影在某投影图上不可见，因此，在求立体表面上点的投影时应同时进行可见性分析判断，并作标识。第二节立体的截交线
一、立体的截交线概念
如图5-4所示，用于截切立体的平面称截平面；截平面与立体所产生的表面交线称为截交线.
截交线所围成的平面图形称截断面；
图5-4 立体的截断面
截交线特性:
由于立体分平面体和曲面体两类，因而截平面截切不同的立体或截切位置不同，所形成的截交线形状也不相同。截交线都具有以下共同特性：（1）.立体的截交线必形成封闭的截断面。（2）.截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的每一点为两者的共有点。二、立体的截交线求法与画法
（一）平面体截断面的形状因平面体的表面均是平面，所以立体被截平面所截的截交线必是封闭的多边形线框，截断面为多边形平面。平面体截断面的求解分析，首先应判断截断面多边形的边数，在截切过程中一个截平面形成一个多边形截断面；其次根据平面体上各棱线（包括底面边线）与截平面的交点判断多边形截断面形状，有几个交点即为几边形。（二）平面体截断面的求法
分析出截断面的已知投影→求平面体截断面→求截平面与平面体表面的截交线→求被截切平面体上各棱线（底面边线）与截平面的交点→然后依次连接成封闭的多边形，并同时进行可见性分析。【例5-1】如图5-5所示，四棱锥被两个截平面截切，求截断面的投影。【求解分析】如图5-5a、b所示，根据读图分析，四棱锥被两个截平面截切，故截断面有两个；由于一个截平面为水平面，另一个为正垂面，其截切产生的截断面也具有相同的性质；四棱锥的截断面形状依据立体上的棱线与截平面的交点分析得出，两截断面均为五边形；截断面的已知投影在正视图上，具有积聚性。（二）平面体截断面的求法
【作图步骤】（1）如图5-5c所示，找出各截断面上的角点，特别要注意重影点，分析各点的类型；先根据从属性和积聚性求出Ⅰ、Ⅱ类点的投影，然后采用辅助直线法求出Ⅲ类点的投影，求点同时进行可见性分析；（2）如图5-5c、d所示，依据投影规律求出多边形截断面上所有角点，按其可见性顺序连接，即得截断面。（二）平面体截断面的求法
图5-5平面体的截断面求法
（二）平面体截断面的求法
图5-5平面体的截断面求法
（三）曲面体截断面的形状
由于常见曲面体（圆柱、圆锥、圆台和球体等）的形体特定，因此，其截断面的形状也根据截平面的位置而确定。见表5-1所示：1.圆柱：圆柱被平面截切有三种情况。
截平面平行于轴线，交线为平行于轴线的矩形截平面垂直于轴线，交线为圆截平面倾斜于轴线，交线为椭圆表5-1 圆柱截切的三种情况
（三）曲面体截断面的形状
2.圆锥
表5-2 圆锥截切的五种情况
圆锥被平面截切有五种情况，对应截交线有五种不同形状，见表5-2所示。
表5-2 圆锥截切的五种情况
2.圆锥
（1）截平面通过圆锥顶点截切，截交线形状是三角形。（2）截平面垂直于圆锥轴线截切，截交线形状是圆。（3）截平面倾斜轴线并与所有素线相交截切（α<θ），截交线形状是椭圆。（4）截平面倾斜轴线并与一条素线平行截切（α=θ），截交线形状是抛物线。（5）截平面平行于轴线或与任两条素线平行截切（α>θ），截交线形状是双曲线。由于圆台可认为是圆锥截切顶部形成的，故圆台的截交线可在圆锥的截交线基础上分析得出。（三）曲面体截断面的形状
3.圆球球体被任意位置的截平面截切，截交线都是圆，截平面与球心的距离不同时，圆的直径大小也不同。但由于截平面的投影位置关系，其截交线的投影有圆或椭圆二种特征。（四）、曲面体截断面的求法
1.求作曲面体截交线投影，分为以下两种情况：（1）截交线为直线或平行于投影面的圆时，投影可由已知条件根据投影规律直接求出。（2）截交线为椭圆、抛物线、双曲线等非圆曲线或非平行于投影面的圆时，需求出曲面与截平面相交形成的截交线上的一系列共有点，然后连接成截交线，并同时进行可见性分析，构成曲面体的截断面。（四）、曲面体截断面的求法
2.截交线的连接为了准确地求出截交线的形状，在求非圆曲线截交线的投影时，应首先求出截交线上的控制点（如端点、曲线转向点与转折点、可见与不可见分界点和截平面与曲面体特殊轮廓素线的交点等），再补求若干截交线的中间点，即可精确完成截交线的绘制。3.曲面体截断面的求法分析出截断面的已知投影→判断出截断面的形状→求曲面体截断面→求截平面与曲面体表面的截交线→求被截切曲面体上各素线（底面边线）与截平面的交点→然后依次连接成封闭的截断面，并同时进行可见性分析。【例5-2】如图5-6所示，圆锥被两个截平面截切，其截断面的求法。【求解分析】如图5-6（a）、（b）所示，根据读图分析，圆锥被两个正垂面截平面P1、P2截切，故截断面有两个，均为正垂面；根据截平面的截切位置，可分析出其截切所产生的截断面形状，P1截切产生的截断面为三角形，P2截切产生的截断面为椭圆；其截断面的已知投影积聚在圆锥的正视图上。
图5-6 曲面体的截断面求法
（四）、曲面体截断面的求法
【作图步骤】
（1）如图5-6（c）所示，根据分析结果，找出各截断面上的控制点，特别要注意重影点，分析各点的类型；先根据从属性和积聚性求出Ⅰ、Ⅱ类点的投影，然后根据曲面体的形体特征，选用辅助素线法或辅助圆法求出Ⅲ类点的投影，求点同时进行可见性分析；
（2）如图5-6（c）、（d）所示，依据投影规律求出圆锥各截断面上所有控制点，如必要可少量补求一些曲线连接点，并按其可见性顺序连接，即得截断面的投影。
（四）、曲面体截断面的求法
（四）、曲面体截断面的求法
图5-6 曲面体的截断面求法
第三节立体间的交线
概念：两立体相交所产生的表面交线叫相贯线。
由于相交两立体的形状、相对位置及大小的不同，相贯线的形状也各不相同。
相贯线的基本性质：相贯线是属于两相交立体表面的共有线；相贯线
上每一点都是两相交立体表面上的共有点。
一、两立体相交的类型
（一）由相交两立体形状分类
如图5-7 所示，分为三种类型：平面体与平面体相交；平面体与曲面体相交；曲面体与曲面体相交。
图5-7 两立体相交的形状分类
（二）由相交立体的虚实分类
如图5-8 所示，分为三种类型：实体与实体相交；实体与虚体相交（开孔）；虚体与虚体相交（孔与孔在立体内部相交）。
图5-8 两立体相交的虚实分类
（三）由立体相交的部位分类
分为两种类型：贯通型；互交型，只有一组相贯线（如图5-7中所示）；有两组相贯线（如图5-8中所示）。
二、相贯线的求法
分析相贯线的已知投影→由立体间相交的类型判断出相贯线的形状和组数→求立体间相交的相贯线→求相贯线上的控制点（端点、曲线转向点与转折点、可见与不可见分界点和相贯线与曲面体特殊素线的交点等，如连接相贯线的需要可少量补求一些中间点。）→然后依次连接各点成封闭的相贯线，并同时进行可见性分析。如图5-9所示。（一）平面体与平面体相贯线的求法举例
【例5-3】如图5-9所示，三棱锥上开了一个四棱柱孔，其相贯线的求法。【求解分析】如图5-9（a）、（b）所示，根据读图分析，此例为虚实贯通型，相贯线有两组；根据立体间的相交位置和虚实立体的棱线相互相交情况，可分析出三棱锥前部的相贯线形状为封闭的六边空间折线，后部为平面四边形；也可看成由二个水平截平面和二个侧平截平面与三棱锥相截切，所产生的多个截断面的已知投影积聚在三棱锥的正视图上。（一）平面体与平面体相贯线的求法举例
【作图步骤】
（1）如图5-9（c）所示，根据分析结果，找出各相贯线上的角点，特别要注意重影点，分析各点的类型；先根据从属性和积聚性求出Ⅰ、Ⅱ类点的投影，然后采用辅助直线法求出Ⅲ类点的投影，求点同时进行可见性分析；
（2）如图5-9（c）、（d）所示，依据投影规律求出各相贯线上所
有角点，按其可见性顺序连接，即得各组相贯线。
（3）如图5-9（e）、（f）所示，与前例比较；我们发现相同立体实与实相交或虚与实相交，其相贯线的组数、形状和求法均相同，但由
于立体间的遮挡关系，其立体间和相贯线的可见性是不一样的。
（一）平面体与平面体相贯线的求法举例
5-9求相贯线的投影
图（一）平面体与平面体相贯线的求法举例
图5-9求相贯线的投影
（二）平面体与曲面体相贯线的求法举例
【例5-4】如图5-10所示，圆锥与四棱柱相交，其相贯线的求法。【求解分析】如图5-10（a）、（b）所示，根据读图分析，圆锥与四棱柱互交，相贯线为一组；根据立体间的相交位置，以及四棱柱的棱面特点，可按圆锥被两个水平截平面和二个侧平截平面截切，故相贯线可看成由四段截交线构成；根据截平面的截切位置，可分析出其截切所产生的截断面形状，水平截切产生的截断面为圆，侧平截切产生的截断面为双曲线；其相贯线的已知投影积聚在圆锥的正视图上。（二）平面体与曲面体相贯线的求法举例
【作图步骤】
（1）如图5-10（c）、（d）所示，根据分析结果，找出构成相贯线的各截交线上的控制点，特别要注意重影点，分析各点的类型；先根据从属性和积聚性求出Ⅰ、Ⅱ类点的投影，然后根据曲面体的形体特征，选用辅助素线法或辅助圆法求出Ⅲ类点的投影，求点同时进行可见性分析；
（2）如图5-10（c）、（d）所示，依据投影规律求出圆锥相贯线上所有控制点，如必要可少量补求一些曲线连接点，并按其可见性分析结果，顺序连接各点，即得相贯线的投影。
（二）平面体与曲面体相贯线的求法举例
5-10 求相贯线的投影
图（二）平面体与曲面体相贯线的求法举例
（二）平面体与曲面体相贯线的求法举例
【复习思考题】1．在立体表面上求点，首先应（A、判定点所在面的位置）。B、作辅助直线C、作辅助圆D、直接求）。2．可用积聚性法取点的面有（A、圆锥面C、圆柱面B、特殊位置平面D、一般位置平面）。3．在圆锥面上的取点（A、只能用辅助圆法求C、只能用辅助素线法求B、利用辅助直线法求D、在轮廓素线上时可直接求）。4．通过锥顶和底面截切五棱锥，其截断面的空间形状为（A、多边形B、五边形C、三角形D、平面四边形5．正圆锥被一截平面截切，要求截交线是抛物线时，θ角（θ为截平面与水平线的夹角）与锥底角α间的关系是（）。A、α<θ B、α=θ C、α>θ D 、θ=90°6．用两个相交截平面切正圆锥，一个面过锥顶，一个面的α<θ，截交线是（）。A、双曲线与椭圆C、椭圆与直线B、双曲线与直线D、抛物线与直线）。7．轴线⊥H的圆柱，被正垂面截切，其截交线的空间形状为（A、圆B、椭圆C、矩形D、一条直线8．用与H面呈α=45°的正垂面P，全截一轴线为铅垂线的圆柱，截断面的侧面投影是（A、圆B、椭圆）。C、二分之一圆D、抛物线）。9．球体被侧垂面截切，其截断面的侧面投影为（A、多边形B、椭圆C、直线D、圆10 ．圆台被过素线延长交汇点平面截切所产生截交线是（A、圆B、平行四边形C、三角形D、梯形）。11．用β=45°的铅垂面，距球心为1/3半径处截切圆球，所产生截交线的特殊点有（A、6个）。C、10个D、12个）。B、8个12．在立体上开孔与实体相交所产生相贯线区别是（A、相贯线形状不同B、相贯线求法不同C、可见性不同D、可见性相同
