高等代数题目

《高等代数》试题库

一、 选择题

1．在F[x]里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

A．零多项式 B．零次多项式 C．本原多项式 D．不可约多项式

2．设g(x)x1是f(x)xkx4kxx4的一个因式，则k（ ）。

6242A．1 B．2 C．3 D．4

3．以下命题不正确的是 （ ）。

A、 若f(x)|g(x),则f(x)|g(x)； B、集合F{abi|a,bQ}是数域； C、若(f(x),f'(x))1,则f(x)没有重因式；

D．设p(x)是f'(x)的k1重因式，则p(x)是f(x)的k重因式

4．整系数多项式f(x)在Z不可约是f(x)在Q上不可约的( ) 条件。

A、 充分 B、 充分必要 C、必要 D．既不充分也不必要

5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。

A、如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)g(x) B、如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x)(g(x)h(x)) C、如果f(x)g(x)，那么h(x)F[x]，有f(x)g(x)h(x)

D、如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)

6． 对于“命题甲：将n(1)级行列式D的主对角线上元素反号, 则行列式变为D；命题

乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A、甲成立, 乙不成立； B、 甲不成立, 乙成立； C、甲, 乙均成立； D、甲, 乙均不成立

7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A、 奇数次实系数多项式必有实根； B、 代数基本定理适用于复数域；

C．任一数域包含Q； D． 在P[x]中, f(x)g(x)f(x)h(x)g(x)h(x)

A11A12...A1nA21...An1A22...An2.........A2n...Ann8．设Daij，Aij为aij的代数余子式, 则

=( ) 。

1

A、 D B 、 D C、D/ D． (1)nD

49、行列式31250a中，元素a的代数余子式是（ ）。 76A．

4067 B．

4165 C．4041 D．

676510．以下乘积中（ ）是5阶行列式Daij中取负号的项。

A、a31a45a12a24a53； B、a45a54a42a12a33；C．a23a51a32a45a14；D、a13a32a24a45a54

11、 以下乘积中（ ）是4阶行列式Daij中取负号的项。

A、a11a23a33a44； B、a14a23a31a42；C．a12a23a31a44； D、a23a41a32a11

12、 设A,B均为n阶矩阵，则正确的为（ ）。

A、 det(AB)detAdetB B、ABBA

C． det(AB)det(BA) D、(AB)2A22ABB2

13、 设A为3阶方阵，A1,A2,A3为按列划分的三个子块，则下列行列式中与A等值的是（ ）

A、A1A2C．A1A2A2A3A1A2A3A1 B、A1A1A2A1A1A2A3 A1A3

A3 D、2A3A114、 设A为四阶行列式，且A2，则AA（ ）

A、4 B、25 C．25 D、8

15、 设A为n阶方阵，k为非零常数，则det(kA)（ ）

A、k(detA) B、kdetA C．kndetA D、kndetA

16、设A，B为数域F上的n阶方阵，下列等式成立的是（ ）。

A、det(AB)det(A)det(B)； B、 det(kA)kdet(A)； C．det(kA)kn1det(A)； D、det(AB)det(A)det(B)

17、 设A*为n阶方阵A的伴随矩阵且A可逆，则结论正确的是（ ）

2

A、 (A*)*|A|n1A B、 (A*)*|A|n1A C．(A*)*|A|n2A D、(A*)*|A|n2A

18、如果AA1A1AI，那么矩阵A的行列式A应该有（ ）。

A、A0； B、A0； C．Ak,k1； D、Ak,k1

19、设A, B为n级方阵, mN, 则“命题甲：AA；命题乙：(AB)AB”中正确的是( ) 。

A、 甲成立, 乙不成立；B、 甲不成立, 乙成立；C．甲, 乙均成立；D、甲, 乙均不成立

20、设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则AA（ ）。

*mmmA、A B、A C．An2nn2n D、An2n1

21、若矩阵A，B满足ABO，则（ ）。

A、AO或BO；B、AO且BO；C．AO且BO；D、以上结论都不正确

22、如果矩阵A的秩等于r，则（ ）。

A、至多有一个r阶子式不为零； B、所有r阶子式都不为零；C．所有r1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零；D、所有低于r阶子式都不为零

23、设n阶矩阵A可逆(n2)，A是矩阵A的伴随矩阵，则结论正确的是（ ）。

*

A、AAn1A；B、AAn1A；C．A*An2A；D、AAn2A

24、 设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则||A|A|=（ ）

A、 |A|n B、|A| C．|A|n2n2n D、 |A|n2n1

25、任n级矩阵A与A, 下述判断成立的是( )。

A、 AA； B、AXO与(A)XO同解；

C、若A可逆, 则(A)1(1)nA1；D．A反对称, -A反对称

26、如果矩阵rankAr,则 （ ）

至多有一个r阶子式不为零；B、所有r阶子式都不为零C． 所有r1阶子式全为零，A、

而至少有一个r阶子式不为零；D．所有低于r阶子式都不为零

27、 设A为方阵，满足AA1A1AI，则A的行列式|A|应该有 （ ）。

A、 |A|0 B、 |A|0 C． |A|k,k1 D、 |A|k,k1

28、 A是n阶矩阵，k是非零常数，则kA ( )。

3

A、 kA； B、 kA； C． knA D、 |k|nA

29、 设A、B为n阶方阵，则有（ ）、

A、A，B可逆，则AB可逆 B、A，B不可逆，则AB不可逆

C．A可逆，B不可逆，则AB不可逆D、A可逆，B不可逆，则AB不可逆 30、 设A为数域F上的n阶方阵，满足A2A0，则下列矩阵哪个可逆（ ）。

2A、A B、AI C．AI DA2I

31、 A,B为n阶方阵，AO，且R(AB)0，则（ ）。

A、BO； B、R(B)0； C．BAO；D、R(A)R(B)n

32、 A，B，C是同阶方阵，且ABCI，则必有（ ）。

A、 ACBI； B、 BACI； C．CABI D． CBAI 33、 设A为3阶方阵，且R(A)1，则（ ）。

A、R(A*)3；B、R(A*)2； C．R(A*)1；D、R(A*)0

34、 设A,B为n阶方阵，AO，且ABO，则（ ）、

2A、BO B、B0或A0 C．BAO D、ABA2B2

0040000035、 设矩阵A1000，则秩A=（ ）。

00000200A．1 B．2 C．3 D．4 36、 设A是mn矩阵，若（ ），则AXO有非零解。

A、mn； B、R(A)n； C．mn D、R(A)m

37、 A，B是n阶方阵，则下列结论成立得是（ ）。

A、ABOAO且BO； B、 A0AO； C．AB0AO或BO； D、 AI|A|1

38、 设A为n阶方阵，且RAr＜n，则A中（ ）、

A、必有r个行向量线性无关 B、任意r个行向量线性无关C．任意r个行向量构成一个极大无关组 D、任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示

39、 设A为34矩阵，B为23矩阵，C为43矩阵，则下列乘法运算不能进行的是

（ ）。

A、BCA B、ACB C．BAC D、ABC

4

TTT

40、设A是n阶方阵，那么AA是（ ）

A、 对称矩阵； B、 反对称矩阵； C．可逆矩阵； D、对角矩阵 41、若由ABAC必能推出BC（A,B,C均为n阶方阵），则A 满足( )。

A、A0 B、AO C．AO D、AB0

42、设A为任意阶(n3)可逆矩阵，k为任意常数，且k0，则必有(kA)1（ ）

A、knA1 B、kn1A1 C．kA1 D、

11A k43、A，B都是n阶方阵，且A与B有相同的特征值，则（ ）

A、 A相似于B； B、 AB； C． A合同于B； D、AB

44、 设A1(BI)，则A2A的充要条件是（ ） 2A、BI； （B）BI；C．B2I D、B2I

45、 设n阶矩阵A满足A2A2I0，则下列矩阵哪个可能不可逆（ ）

A、 A2I B、 AI C． AI D、 A 46、 设n阶方阵A满足A22A0，则下列矩阵哪个一定可逆（ ） A、 A2I； B、 AI； C． AI D、 A 47、 设A为n阶方阵，且RAr＜n，则A中（ ）、

A、必有r个列向量线性无关；B、任意r个列向量线性无关；C．任意r个行向量构成一个极大无关组；D、任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示 48、设A是mn矩阵，若（ ），则n元线性方程组AX0有非零解。 A、 mn B、A的秩等于n C．mn D、A的秩等于m

49、 设矩阵Aaijmn，AX0仅有零解的充分必要条件是( )、

A、 A的行向量组线性相关 B、A的行向量组线性无关 C．A的列向量组线性相关 D、A的列向量组线性无关 50、 设A, B均为P上矩阵, 则由( ) 不能断言AB；

A、 R(A)R(B)；B、存在可逆阵P与Q使APBQ C．A与B均为n级可逆；D、A可经初等变换变成B

51、 对于非齐次线性方程组AXB其中A(aij)nn,B(bi)n1,X(xj)n1，则以下结论不正确的是（ ）。

A、若方程组无解，则系数行列式A0；B、若方程组有解，则系数行列式A0。 C．若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解；

D、系数行列式A0是方程组有惟一解的充分必要条件

5

1072101211，52、 设线性方程组的增广矩阵是则这个方程组解的情况是（ ）、 0242200015A、有唯一解 B、无解 C．有四个解 D、有无穷多个解

53、 A,B为n阶方阵,AO，且AB0，则 （ ）。

A、A0；B、R(B)n；C．齐次线性方程组(BA)XO有非0解；D、A0

54、 当（ ）时，方程组x1x2x31，有无穷多解。

2x12x22x3A．1 B．2 C．3 D．4

bx1ax22ab55、 设线性方程组2cx23bx3bc，则（ ）

cxax013A、当a,b,c取任意实数时，方程组均有解。B、当a0时，方程组无解。 C．当b0时，方程组无解。D、当c0时，方程组无解。

56、 设原方程组为AXb，且RARA,br，则和原方程组同解的方程组为( )。 ；C．PAXPb（P为可逆矩阵）； A、ATXb；B、QAXb（Q为初等矩阵）

D、原方程组前r个方程组成的方程组

57、 设线性方程组AXb及相应的齐次线性方程组AX0，则下列命题成立的是（ ）。 A、AX0只有零解时，AXb有唯一解；B、AX0有非零解时，AXb有无穷多个解；C．AXb有唯一解时，AX0只有零解；D、 AXb解时，AX0也无

解

58、 设n元齐次线性方程组AX0的系数矩阵A的秩为r，则AX0有非零解的充分必要条件是（ ）。

A、rn B、rn C．rn D、rn

59、 n维向量组1,2,,s (3sn)线性无关的充分必要条件是（ ）

A、存在一组不全为零的数k1,k2,,ks，使k11k22kss0 B、1,2,,s中任意两个向量组都线性无关

C．1,2,,s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示

D、1,2,,s中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

60、 若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）

A、线性相关； B、 线性无关； C．线性相关或线性无关；D、不一定

6

61．设为任意非零向量，则（ ）。

A、线性相关；B、线性无关；C． 线性相关或线性无关；D．不一定

62、n维向量组1,2,...s线性无关，为一n维向量，则（ ）、

A、1,2,...,s，线性相关；B、一定能被1,2,...,s线性表出； C．一定不能被1,2,...,s线性表出；

D、当sn时，一定能被1,2,...,s线性表出

，r}63、 （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；（2）若向量组{1，2，，r1}也线性无关；线性无关，r1可由1,2,r线性表出，则向量组{1，2，（3）

，r}线性无关，，r1}也线性无关；，r}设{1，2，则{1，2，（4）{1，2，r1线性表出；以上说法正确的有（ ）个。 线性相关，则r一定可由1,2，A、1 个 B、2 个 C．3 个 D、4个

n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基；n．（1）（2）设1,2，n是V的是向量空间V中的n个向量，且V中的每个向量都可由之线性表示，则1,2，n}是向量空间V的一个基，如果{1，2，n}与一个基；（3）设{1,2，{1,2，n}等价，则{1，2，n}也是V的一个基；

（4）n维向量空间V的任意n1个向量线性相关；以上说法中正确的有（ ）个。 A、1 个 B、2 个 C．3 个 D、4个

65． 设向量组1,2,3线性无关。1,2,4线性相关，则（ ）。 A、1必可由2,3,4线性表示；B、4必可由1,2,3线性表示；

C．4必可由1,2,3线性表示； D、4必不可由1,2,3线性表示

66、设向量组Ⅰ（1,2,r），Ⅱ（1,2,r,r1,,s）则必须有（ ）。

A、Ⅰ无关Ⅱ无关； B、 Ⅱ无关Ⅰ无关；C、Ⅰ无关Ⅱ相关；D、Ⅱ相关Ⅰ

相关

67．向量组A:1,2,,n与B:1,2,,m等价的充要条件为（ ）、

B、R(A)n且R(B)m；C．R(A)R(B)R(A,B)；D、mn A、R(A)R(B)；68．向量组1,2,

,r线性无关( ) 。

7

A、 不含零向量； B、 存在向量不能由其余向量线性表出； C．每个向量均不能由其余向量表出； D．与单位向量等价

69、已知5(1,0,1)3(1,0,2)(2,3,1)则

2222A、(,1,2)；B、(,1,2)；C．(1,,2)；D、 (1,1,)、

333370、 设向量组1,2,3线性无关。1,2,4线性相关，则（ ）。

A、1必可由2,3,4线性表示；B、4必可由1,2,3线性表示；

C．4必可由1,2,3线性表示；D、4必不可由1,2,3线性表示

'371．下列集合中，是R的子空间的为（ ），其中(x1,x2,x3)

Ax30B、x12x23x30C．x31D、x12x23x31

72． 下列集合有（ ）个是R的子空间；

w1{(x1,x2,xn)|xiR,x1x2xn0}； w2{(x1,x2,xn)|xiR,x1x2xn}； w3{(a,b,a,b,,a,b)|a,bR}； w4{(x1,x2,xn)|xi为整数}；

73．设,是相互正交的n维实向量，则下列各式中错误的是（ ）。

nA、C．2； B、； ；D、

22222A、1 个 B、2 个 C．3 个 D、4个

74、A是n阶实方阵，则A是正交矩阵的充要条件是（ ）。 A、AA1I； B、AA/； C．A1A/ ； D、A2I

75．（1）线性变换的特征向量之和仍为的特征向量；（2）属于线性变换的同一特征值

0的特征向量的任一线性组合仍是的特征向量；（3）相似矩阵有相同的特征多项式；

（4）(0IA)X0的非零解向量都是A的属于0的特征向量；以上说法正确的有（ ）个。

A、1 个 B、2 个 C．3 个 D、 4个

75、 n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（ ）。

8

A、充要条件；B、充分而非必要条件；C．必要而非充分条件；D、既非充分也非必要

条件

76、 对于n阶实对称矩阵A，以下结论正确的是（ ）。

A、一定有n个不同的特征根；B、正交矩阵P，使PAP成对角形；C．它的特征根一定是整数；D、属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交 77、 设1,2,3与1,2,3都是三维向量空间V的基，且

11a1,212,3123，则矩阵P10（ ）的过渡矩阵。

10011是由基1,2,3到1A、2,1,3 B、1,2,3 C．2,3,1 D、3,2,1

78、 设，是相互正交的n维实向量，则下列各式中错误的是（ ）。

A、C．2 B、  D、

22222二、 填空题

1．最小的数环是 ，最小的数域是 。

2．一非空数集P,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 。

3．设f是实数域上的映射，f:xkx(xR)，若f(4)12，则f(5)= 。 4．设f(x),g(x)F[x]，若(f(x))0,(g(x))m，则(f(x)g(x))= 。 5、求用x2除f(x)x2xx5的商式为 ，余式为 。 6．设a0，用g(x)axb除f(x)所得的余式是函数值 。 7．设a,b是两个不相等的常数，则多项式f(x)除以(xa)(xb)所得的余式为____ 8．把f(x)x5表成x1的多项式是 。 9．把f(x)2xx3x5表成x1的多项式是 。 10．设f(x)Q[x]使得(f(x))2，且f(1)1，f(1)3，f(2)3，则

043432f(x) 。

11．设f(x)R[x]使得degf(x)3且f(1)1,f(-1)3,f(2)3,则f(x)=____。

9

12．设f(x)R[x]使得degf(x)3且f(1)1,f(-1)2,f(2)0,则f(x)=___。 13、 若g(x)f(x),h(x)f(x)，并且 ，则g(x)h(x)f(x)。 14、 设g(x)f(x)，则f(x)与g(x)的最大公因式为 。

15、 多项式f(x)、g(x)互素的充要条件是存在多项式u(x)、v(x)使得 。 16、 设d(x)为f(x)，g(x)的一个最大公因式, 则d(x)与(f(x),g(x))的关系 。 17、 多项式f(x)xx3x4x1与g(x)xxx1的最大公因式

43232(f(x),g(x)) 。

18、 设f(x)xxaxb。g(x)xx2，若(f(x),g(x))g(x)，则

422a ，b 。

19．在有理数域上将多项式f(x)xx2x2分解为不可约因式的乘积 。 20．在实数域上将多项式f(x)xx2x2分解为不可约因式的乘积 。 21、 当a,b满足条件 时，多项式f(x)x3axb才能有重因式。 22、 设p(x)是多项式f(x)的一个k(k1)重因式，那么p(x)是f(x)的导数的一个 。 23、 多项式f(x)没有重因式的充要条件是 互素。 24．设1,2,3为方程xpxqxr0的根，其中r0，则

3232323 。

12233125．设1,2,3为方程xpxqxr0的根，其中r0，则

321121231= 。

313226．设1,2,3为方程xpxqxr0的根，其中r0，则

122232 。

3227．设1,2,3为方程xpxqxr0的根，其中r0，则111 = 。

12328、 按自然数从小到大为标准次序，排列2431的反序数为 。 29．按自然数从小到大为标准次序，排列4132的反序数为 。

10

30．排列451362的反序数为 。 31．排列542163的反序数为 。 32．排列523146879的反序数为 。

33．排列n,n1,...,2,1的反序数为 。

34、 若9元排列1274i56k9是奇排列，则i_____,k _______。 35、 设n级排列i1i2in的反数的反序数为k，则(inin1i2i1)= 。

36、 设{i1,i2,,in}{1,2,,n},则(i1i2in)(inin1i1) 。 37、 当k ， 时，5阶行列式D的项a12a2ka31a4a53取“负”号。38、

32153320537228472184 。

12339．101202303 。 102030aa1

40．a

b1 。

ba1abc41． bca 。

cab20142、 141 _________________。

18312443． 221 ________________。

3420000x0002x044、 003x0015 ， x _________________。

0400050000 11

x12345、 f(x)3x1223x1, 则f(4) ______________________。

123xxa1...a146、 设n2,aa2x...a21,a2,,an两两不同, 则

............的不同根为 。

anan...x0001002047、 Dn=______________。

0n100n0001048．A102013,B01，则

AB= 。 4512a49、 设行列式203中，余子式A213，则a＝__________。

36912a50、 设行列式203中，余子式M223，则a＝__________。 369101351、 设A11121110，则A14A24A34A44 。

221411152行列式123 的余子式M21M22M23的值为 。

14911153、设A111123，B124,则AB ____________。

11105154．设A121123122，B124,则3AB2B____________。

111311

12

55．设A123041， B043120,则A3B ____________。

10159156、 设A101020111，B231，则(AB)'＝_____________。

11110257、 设A111123B101020，则(AB)'＝_____________。

10210158．设矩阵A可逆，且A1，则A的伴随矩阵A的逆矩阵为 。 59．设A、B为n阶方阵，则(AB)2A22ABB2的充要条件是 。 60．一个n级矩阵A的行（或列）向量组线性无关，则A的秩为 。 61、 设P、Q都是可逆矩阵，若PXQB，则X 。

122162、 设A2122，则R(A) 。

11431231163、 设A31532，则R(A) 。

212231112、 设矩阵A312，且R(A)2,则,。53665、 设A为n阶矩阵，且A1,则 R(A)______________。

66、 A21,则53A1________________。 67、A1225,则A1________________。

13

k0168、 已知A011,其中k0，则A1_________________。

00169、 若A为n级实对称阵，并且AAO，则A= 。 70、 设A为5阶方阵，且detA3，则detA阵A的行列式det(A) 。

/1 ，det(AA) ，A的伴随矩

100171、 设A220，A*是A的伴随矩阵，则(A)= 。

345121172、 设A342，A*是A的伴随矩阵，则(A)= 。

5311241A01273、,则(A*) ____________。

12174、 设A为4阶矩阵，且A2,则 2AA*____________。 75、 A为3阶矩阵，A0.5，则(2A)15A=（ ）。 76、 设2546,则X____________。 X132177、 A,B,C是同阶矩阵，A0,若ABAC,必有BC，则A应是 _____。 78、 设A1(BI)，则A2A的充要条件是 。 279、一个齐次线性方程组有n1个线性方程、n2个未知量，其系数矩阵的秩为n3，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 。

80、含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是 。 81、线性方程组有解的充分必要条件是 。

14

x1x2x3a182、 方程组x1x2x3x4a2有解的充要条件是 。

2x2xxa2343x1x2a183、 方程组x2x3a2有解的充要条件是 。

xxa13384、 A是nn矩阵，对任何bn1矩阵，方程AXb都有解的充要条件是_______。 85．已知向量组1(1,2,3,4)，2(2,3,4,5)，3(3,4,5,6)，

3(4,5,6,7)，则向量1234 。

86、若12s0，则向量组1,2,,s必线性 。

87、已知向量组1(1,2,3,4)，2(2,3,4,5)，3(3,4,5,6)，

3(4,5,6,7)，则该向量组的秩是 。

88、 若可由1,2,,r唯一表示, 则1,2,,r线性 。 、 单个向量线性无关的充要条件是_____________。

90、 设1,2,,m为n维向量组, 且R(1,2,,m)n，则n m。 91、 n1个n维向量构成的向量组一定是线性 的。（无关，相关） 92、已知向量组1(1,0,1),2(2,2,3),3(1,3,t)线性无关，则t _______。 93、 向量组{1,2,,n}的极大无关组的定义是___________。

2r194、 设t1,t2,,ts两两不同, 则i(1,ti,ti,,ti),i1,2,,r线性 。

95、二次型f(x,y,z)xyzxyxzyz的矩阵是____________、

222011是正定阵，则k满足条件__________________。

096、 A1k00k222297 、 当t满足条件 ，使二次型fx12x23x32x1x22x1x32tx2x3是正定的。

98、 设n阶实对称矩阵A的特征值中有r个为正值，有nr为负值，则A的正惯性指数和负惯性指数是 。

99、 A相似于单位矩阵，则A = _______________。

____。 100、 A相似于单位阵，A __________

15

70101、 矩阵A0020102、 矩阵A00000800的特征值是____________。

034013000300的特征值是____________。

046013103、 设A为3阶方阵，其特征值为3，—1，2，则 A 。 104、A满足A2AI0，则A有特征值______________________。

105、 设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 。

106、 设矩阵A是n阶零矩阵，则A的n个特征值是 。 107、 如果A的特征值为，则A的特征值为 。

108、 设(x1,x2,x3)是R3的任意向量，映射()(cosx1,sinx1,0)是否是R3到自身的线性映射 。

222109、 设(x1,x2,x3)是R3的任意向量，映射()(x1,x2,x3)是否是R3到自身的线

2T性映射 。

1,2的矩阵为110、 若线性变换关于基ab，那么线性变换关于基32,1cd的矩阵为 。 111、 对于n阶矩阵A与B，如果存在一个可逆矩阵U,使得 ，则称A与B是相似的。 112、实数域R上的n阶矩阵Q满足 ，则称Q为正交矩阵。

113、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 。

114、 复数域C作为实数域R上的向量空间，则dimC_____，它的一个基为____。 115、 复数域C作为复数域C上的向量空间，则dimC____，它的一个基为_____。 116、 复数域C作为复数域C上的向量空间，则dimC___________。

117、 设V是数域C上的3维向量空间，是V的一个线性变换，{1，2，3}是V的

111关于该基的矩阵是123，123，一个基，则()关于{1，2，3}123的坐标是____________。

，n，1} 的过渡矩阵118、 设{1,2,n}是向量空间V的一个基，由该基到{2，为___________________。

16

，n}是向量空间V的一个基，由该基到{n，n1，1} 的过渡矩119、 设{1,2，阵为__________。

120、 设V与W都是F上的两个有限维向量空间，则VW 。 121、 数域F上任一n维向量空间都却与Fn 。（不同构，同构） 122、 任一个有限维的向量空间的基是____的，但任两个基所含向量个数是_____。 123、 令S是数域F上一切满足条件A/A的n阶矩阵A所成的向量空间，则

dimS= 。

124、 设为变换，V为欧氏空间，若,V都有

(),(),，则

为 变换。

125、 在R中,11,2,3,20,1,2,则1,3 。

3126、 在欧氏空间C[2,2]里x的长度为__ _ __。 127、 在欧氏空间C[2,2]里x的长度为_________。

128、 设L(V),V是欧氏空间，则是正交变换 。

n129、 设a1,a2,,an,b1,b2,,bn，则在R中,2,= 。

三、计算题

1、把f(x)5x6xx4按x1的方幂展开、

2．利用综合除法，求用g(x)去除f(x)所得的商及余式。f(x)2x5x8x，

53432g(x)x3。

3．利用综合除法，求用g(x)去除f(x)所得的商及余式。f(x)x3x1，g(x)x2。 4、已知f(x)x4x1,g(x)x3x1 ,求f(x)被g(x)除所得的商式和余式。 5、设f(x)x2x4x4x3,g(x)2x5x4x3，求f(x),g(x)的最大公因式(f(x),g(x))。

6．求多项式f(x)xx2x4与g(x)x2x4x1的最大公因式．

7、 求多项式f(x)4x2x16x5x9，g(x)2xx5x4的最大公因式

432323232432325432d(x)，以及满足等式f(x)u(x)g(x)v(x)d(x)的u(x)和v(x)。

17

8、求多项式f(x)xx4x4x1，g(x)xx1的最大公因式d(x)，以及满4322足等式f(x)u(x)g(x)v(x)d(x)的u(x)和v(x)。

9、令F是有理数域，求出F[x]的多项式f(x)4x42x316x25x9，

g(x)2x3x25x4的最大公因式(f(x),g(x))，并求出u(x),v(x)使得

f(x)u(x)g(x)v(x)(f(x),g(x))。

10、 令F是有理数域，求F[x]的多项式

f(x)x42x34x24x3,g(x)2x35x24x3的最大公因式。

11、 设f(x)x42x3x24x2，g(x)x4x3x22x2，求出

u(x),v(x)，使得u(x)f(x)v(x)g(x)(f(x),g(x))。

12、已知f(x)x42x3x24x2,g(x)x4x3x22x2，求

u(x),v(x),使得f(x)u(x)g(x)v(x)(f(x),g(x))。

13、在有理数域上分解多项式x32x22x1为不可约因式的乘积。 14、a,b应该满足什么条件，有理系数多项式x33axb才能有重因式。 15、求多项式f(x)3x45x3x25x2的有理根。 16、求多项式f(x)4x47x25x1的有理根。 17．求多项式f(x)x36x215x14的有理根。 18、求多项式f(x)x5x45312x2x22x3的有理根。 19、求多项式f(x)3x48x36x23x2的有理根。 20、求多项式x5x46x314x211x3的有理根。

21、求一个二次多项式f(x)，使得：f(1)0,f(2)3,f(3)28。 22、问取何值时，多项式f(x)x3x2，g(x)x2x2有实根。 23、用初等对称多项式表示n元对称多项式fx2x212。

18

24、用初等对称多项式表示n元对称多项式fx31x2。

25、请把n元对称多项式

x31x2x3表成是初等对称多项式的多项式。

3130126、求行列式12102的值。

24199123427、求行列式D23413412 的值。

4123111128、求行列式D123413610 的值。

141020122229、求行列式D22222232的值。

2224123430、求行列式D23413412的值。

4123311231、求行列式D51342011的值。

1533135132、求行列式

52722141的值。

34630y0x33、求行列式x0y00x0y的值。

y0x0 19

101134、把行列式

0111abcd依第三行展开然后加以计算。

1110aaaa35、求行列式Daabaaaaaca的值。

aaaad31236、求行列式534的值。 1741x11137、求行列式D11x11111y1的值。

1111yxyxy38、求行列式Dyxyx的值。

xyxy1a1139、计算n阶行列式

11a1 111axaaaaaxaaa40、计算n阶行列式Daaxaa aaaxaxaaa41、 计算n阶行列式

axaa

aaxaxy0...000xy...0042、 计算n阶行列式Dn..................

000...xyy00...0x

20

xzyxyyyyyyzzxyy43、 计算n阶行列式Dn

zzzxyzzzzxxaa44、 计算n阶行列式Daxan

aax1a1a2a3ana11a2a3an45、 计算n阶行列式a1a21a3an

a1a2a31an1a1000011a1a200046、计算n阶行列式

011a2a300

00001an1an000011an1a111147、计算n阶行列式D11a211n(a1a2an0) 1111anabab0001abab0048、计算n阶行列式Dn01ab00 (其中ab)

0001ab 21

1a1000011a1a200049、计算n阶行列式

011a2a300

00001an1an000011ana011111a100050、计算n阶行列式D10a200n

100an101000ana1ma2an51、计算n阶行列式

a1a2man

a1a2anmx1152、计算n阶行列式D1x1n

11xx11x2xn53、计算n阶行列式Dx1x21xn

x1x2xn1x211x1x2x1xn54、计算n阶行列式Dx22x1x21x2xn

xnx1xnx2x2n1xx155、解方程0230。

17x

22

x56、解方程0x22x310。 122x2333x0。

110。

13x157、解方程1x121x58、解方程

1159、设A为33矩阵，A2，把A按列分块为A(A1,A2,A3)。其中Aj(j1,2,3)是A的第j列。求（1）A（2）A32A1,2A3,A2；1,3A2,A1。

T60、已知(1,1,1),(1,2,3)，试求：① ；②T2。

61、已知A113

，求 A1103362、设A=110，ABA2B，求B。

123123k63、设A=12k3，已知R(A)1,求k。

k233361、求矩阵13的秩。

342531212的秩。

165、求矩阵A=21131013166、求矩阵A=215112的秩。 01312514 23

2410467、求矩阵A=1201403121的秩。 3103368、求矩阵A=1121020601的秩。

15252269、求矩阵A41152的逆矩阵。 11120270、求矩阵A420的逆矩阵。 502171、求矩阵A111的逆矩阵。 3121272、求矩阵A1310的逆矩阵。

021a0073、设Aba0，给出A可逆的充分必要条件，并在A可逆时求其逆．cba12374、设矩阵A221，问矩阵A是否可逆？若可逆，求出A1。

34311175、设矩阵A1210，问矩阵A是否可逆？若可逆，求出A。

11076、设矩阵A212130，判断A是否可逆？若可逆，求A1和A*。

121 24

121，请用两种方法（行初等变换，伴随矩阵）求A1 。

077、设A3110212178、已知矩阵A=342, 用矩阵的初等变换求A的逆矩阵。

54102102，用矩阵的初等变换求A的逆矩阵。 79、已知矩阵A=323080、设A为三阶矩阵，A为A的伴随矩阵，已知A=(2) (3A)12A的值。

81、设A为n阶方阵，A5A6E0，判断A3E与A3E是否一定可逆，如果可逆，求出其逆。 82、设矩阵A=2

1，求(1) A1的值； 223T，求矩阵, 使得。 AAXX123541283、用求逆矩阵的方法解矩阵方程X301。

12111112X11。 84、 解矩阵方程0211021211113X21085、解矩阵方程432。

111111111110

286、解矩阵方程X0211021111111187、解矩阵方程022X110

1102111012312X110 88、求解矩阵方程04110211 25

x1x22x30、判断齐次线性方程组2x1x2x30是否有非零解？

3x12x2x3090、用求逆矩阵的方法解线性方程组x12x243x5x

121x1x22x3191、用求逆矩阵的方法解线性方程组x2x32

2x1x23ax1ax2bx392、用克莱姆法则解线性方程组1ax1 （其中ab,ab1bx2ax3bx2)

1ax2ax31bxay2ab093、用克莱姆法则解线性方程组2cy3bzbc0（其中abc0）

cxaz0x1x3494、用克莱姆规则解方程组x1x2x34

2x1x2x33ax1x2x3a395、讨论a取何值时，方程组有解，并求解。x1ax2x32

x1x2ax32x1(a21)x22x3a96、讨论a取什么值时，方程组有解，并求解。ax1ax2(2a1)x30x1(2a1)x22x32x1x2x3497、选择，使方程组2x1x22x36无解。

x1x2x34x1x2x3098、确定的值，使齐次线性方程组x12x2x30有非零解。

2x1x202x1x23x3098、k取何值时，齐次线性方程组3x14x27x30有非零解？

x12x2kx30 26

kx1x2x3099、齐次线性方程组x1kx2x30有非零解，则k为何值？

2xxx0123x1x2x30100、问，取何值时，齐次线性方程组x1x2x30有非零解？

x2xx02311x1x2x30101、 问取何值时，非线性方程组 x11x2x33有无限多个解？

x1x21x3x1x2x3ax40x2xxx01234102、齐次线性方程组有非零解，则a,b应满足什么条件？

xx3xx03412x1x2ax3bx40x1x2x31103、确定的值，使线性方程组2x13x2x33无解？有惟一解？有无穷多解？

xx3x2231x12x2x3x41104、取怎样的数值时，线性方程组2x1x2x3x41有解，并求出一般解。

2x9x3x5x2341x1x2x31105、问当取何值时，线性方程组x1x2x3有唯一解？无解？有无穷多解？并在

2xxx312有解时写出解。

(1)x1x2x30106、问取何值时，线性方程组x1(1)x2x33有唯一解？无解？有无穷多

xx2(1)x31解？并在有解时写出解。

x1x2x3x41xxxx21234107、设线性方程组为讨论为何值时，下面线性方程组有唯一

x1x2x3x43x1x2x3(1)x41解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解（要求用导出组的基础解系及它的特解

形式表示其通解）。

27

x13x2x30108、设非齐次线性方程组为x14x2ax3b试问:a,b取何值时，方程组无解？有唯一

2xx3x5312的解？有无穷多个解？有解时请求出解。

(1)x1x2x30109、设非齐次线性方程组为x1(1)x2x33试问: 取何值时，方程组无解？有

x1x2(1)x3唯一的解？有无穷多个解？当有解时请求出解来。

x1x2x34x43x50110、求线性齐次方程组2x1x23x35x45x50xx的基础解系。x123x324x503x1x25x36x47x502x12x2x3x50111、求线性齐次方程组x1x22x33x4x50x1x22x的基础解系。

3x50x3x4x50x1x2x3x40112、求线性齐次方程组x1x2x33x40的基础解系。

x1x22x33x402x12x2x3x50113、求线性齐次方程组x1x22x33x4x50x的基础解系。

1x22x3x50x3x4x50x1x22x3x40114、求线性齐次方程组 2x1x2x3x40的基础解系。

2x12x2x32x203x1x26x34x42x5115、求线性齐次方程组02x12x23x35x43x50的基础解系。x15x26x38x46x50x1x25x3x40116、求齐次线性方程组x1x22x33x40x 的基础解系。

3x128x3x40x13x29x37x40 28

x12x22x3x40117、求齐次线性方程组2x1x22x32x40的通解。

xx4x3x02341x18x210x32x40118、求齐次线性方程组2x14x25x3x40的通解。

3x8x6x2x02341x1x2x3x40119、求非齐次线性方程组x1x2x33x41的通解。

1x1x22x33x422xyzw1120、求非齐次线性方程组4x2y2zw2的通解。

2xyzw1121、问下列向量组是否线性相关？ （1）（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）；（2）（2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1） 122、判别向量组1=(0,0,2,3), 2=(1,2,3,4)，3=(1,2,1,1)，4=(1,0,1,0)是否线性相关，并求1,2,3,4的一个极大线性无关组。

123、求向量组(1,1,1)，(1,2,3)，(3,4,5)的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合。

124、求向量组1(1,1,2,4)，2(0,3,1,2)，3(3,0,7,14)，

5(2,1,5,6)的极大无关组, 并求出组中其余向量被该极大无4(1,1,2,0)，

关组线性表出的表达式。

125、已知向量组（Ⅰ）1,2,3,(Ⅱ) 1,2,3,4,(Ⅲ) 1,2,3,5，若各向量组的秩分别为R(Ⅰ) = R (Ⅱ) = 3 , R (Ⅲ) = 4 ,证明向量组（Ⅳ）：1,2,3,54的秩为4。

21111121126、设矩阵A4622369724，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组。 49a11127、已知向量11,2a,31线性相关，求的a值。

11a

29

128、设矩阵A(1,2,3,4),其中2,3,4线性无关，1223，向量

1234求方程AX的解。

222129、判断实二次形10x12x23x34x1x24x1x3是不是正定的。

2222130、取什么值时, 实二次形(x1x2x3)2x1x22x1x32x2x3x4是正定的。

222131、取何值时，实二次型f(x1x2x3)2x1x32x2x32x3x1x4是正定的？

2132、t取何值时，二次型f(x1,x2,x3)t(x1x2x3)2x1x22x2x3正定。 133、t取何值时，二次型f(x1,x2,x3)x1x25x32tx1x22x1x34x2x3正定。 134、t取何值时，二次型f(x1,x2,x3)x1x25x32tx1x22x1x34x2x3正定。 135、求一个正交变换XPY把二次型f(x1,x2,x3)2x1x24x2x34x1x2化为只含有平方项的标准形。

136、求一个正交变换XPY把二次型f(x1,x2,x3)4x13x22x2x33x3化为只含有平方项的标准形。

22137、将二次型f(x1,x2,x3)2x12x1x24x1x36x2x3x3化为规范形，并指出所用

22222222222222的线性变换。

222138、用正交线性替换化实二次型f(x)2x14x1x22x22x3为典范形，并求相应的正

交阵。

139、已知向量组1=(1,1,0,-1), 2=(1,2,3,4)，3=(1,2,1,1)，4=(2,4,2,2)，试求它们的生成子空间span(1, 2, 3, 4)的维数和一个基。

421140、求A201的特征值。 110100141、求A010的特征值。 001001142、求A010的特征值。 100 30

500143、求矩阵A032的特征根和相应的特征向量。 0234144、设A221145、设A220146、设A1124222410322，求一个正交矩阵u,使u/Au为对角形矩阵。 424，求一个正交矩阵u,使u/Au为对角形矩阵。 213，用初等变换求一可逆矩阵P,使P/AP是对角形式。 101147、设A2121111，用初等变换求一可逆矩阵P,使P/AP是对角形式。 32131148、设A222,求可逆矩阵T, 使TAT是对角形矩阵。

613122/149、设A212，求一个正交矩阵T，使TAT是对角矩阵。

2211245x2与B150、设矩阵A2421y相似，求x,y。

4151、1(1,1,1),2(1,1,2),3(1,2,3),(6,9,14)，求关于基1,2,3的坐标。 152、已知11,1,1,21,2,4,31,3,9是线性空间P3的一组基，求向量

1,1,3在基1,2,3下的坐标。

31

101111310,21,31153、设R中的两个基分别为10,21,32，

001102（1）求由基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵。

1（2）已知向量在基1,2,3下的坐标为3，求在基1,2,3下的坐标。

02154、已知{x,xx,xx,x1}是C3[x]的一个基，求xx1在该基下的坐标。 2155、已知{x,xx,xx,x1}是C3[x]的一个基，求x2x1在该基下的坐标。

3323323156、考虑R中以下两组向量{1(3,1,2),2(1,1,1),3(2,3,1)}；

{1(1,1,1),2(1,2,3),3(2,0,1)}，证明{1,2,3}和{1,2,3}都是R3的基。并

求出由基{1,2,3}到{1,2,3}的过渡矩阵。

15115157、设F上三维向量空间的相性变换关于基{1,2,3}的矩阵是20158,求876关于基121323,231423,312223 的矩阵。

1(1,0,1)1(0,1,1)3158、R中的两向量组2(2,1,1) ， 2(1,1,0)

(1,1,1)(1,2,1)33（1）证明它们都是R的基，（2）并求第一个基到第二个基的过渡矩阵，

（3）如果在基{1,2,3}下的坐标为（3，1，2），求在基{1,2,3}下的坐标。

4159．设在标准欧几里得空间VR中有向量组1(2,2,2,2)， 2(0,2,2,2)

33(0,0,2,2), 4(4,2,0,0)，求L(1,2,3,4)的一个基与维数。

四、判断题

1、判断R中的子集(a1,0,...,an)a1,anRn是否为子空间。

是否为子空间。

2、 判断R中的子集(a1,a2,...,an)nai1ni1 32

3、判断R中的子集(a1,a2,...,an)nai1ni0是否为子空间。

4、判断R3的向量1(3,1,4),2(2,5,1),3(4,3,7)是否线性相关。 5、 判断R3的向量1(1,2,3),2(2,1,0),3(1,7,9)是否线性相关。 6、判断R3的向量1(1,0,0),2(1,1,0),3(1,1,1)的线性相关性。 7、若整系数多项式f(x)在有理数域可约，则f(x)一定有有理根。（ ） 8、若p(x)、q(x)均为不可约多项式，且(p(x),q(x))1，则存在非零常数c，使得 （ ） p(x)cq(x)。

9、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。（ ） 10、若矩阵A的所有r1级的子式全为零，则A的秩为r。（ ）

11、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。（ ） 12、若向量组1,2,,s（s1）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合。

（ ）

13、若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同。（ ） 14、若矩阵A、B满足AB0，且A0，则B0。（ ） 15、A称为对称矩阵是指A'A．若A与B都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵。（ ） 16、设n级方阵A、B、C满足ABCE，E为单位矩阵，则CABE。（ ） 17、若 1,2是方程(AI)X0的一个基础解系，则k11k22是A的属于的全部特征向量，其中k1,k2是全不为零的常数。（ ） 18、A、B有相同的特征值，则A与B相似。（ ） 19、若f(x)无有理根，则f(x)在Q上不可约。（ ） 20、两个本原多项式的和仍是本原多项式。（ ）

21、对于整系数多项式f(x)，若不存在满足艾森施坦判别法条件的素数p，那么f(x)不可约。（ ） 三、简要回答

1．设f(x), g(x)P[x], g(x)0, 若f(x)g(x)q(x)r(x), 则(f(x),g(x))

(f(x),r(x))成立吗？为什么？

ab/22、设Acd, 则当a,b,c,d满足何条件时,AA ？AA ？为什么？



33

3．若1,2,么？

,s与1,2,,s均相关, 则11,22,,ss相关吗？为什

4．若A、B均为n级阵, 且A≌B, 则A与B的行向量组等价吗？为什么？ 五、证明题

1、证明：两个数环的交还是一个数环。 2．证明：Fm是一个数环。 m,nZn23．证明：Fabia,bQ是一个数域。 4、证明：f:AB, g:BC 是映射，又令hg也是单射。

5、若(xxx1)|(f(xxg(x)), 则(x1)|f(x), (x1)|g(x)。 6、令f1(x),f2(x),g1(x),g2(x)都是数域F上的多项式,其中f1(x)0且

3222f，证明：如果h是单射，那么fg1(x)g2(x)|f1(x)f2(x), f1(x)|g1(x)，证明: g2(x)|f2(x)。

7、f(x)和g(x)是数域F上的两个多项式。证明：如果f(x)整除g(x)，即：f(x)g(x)，并且g(x)h(x)，那么f(x)h(x)。

8、设f(x)d(x)f1(x)，g(x)d(x)g1(x)。证明：如果(f(x),g(x))d(x)，且f(x)和

g(x)不全为零，则(f1(x),g1(x))1。

9、设p(x)是F[x]中次数大于零的多项式，若f(x),g(x)F[x],只要p(x)|g(x)f(x) 就有p(x)|g(x)或p(x)|f(x)，则p(x)不可约。

10、设g(x),f(x)F[x]，证明：如果(f(x),g(x))1，那么对h(x)F[x]，都有

(f(x)h(x),g(x))(h(x),g(x))。

11、设p(x)是多项式f(x)的一个k(k1)重因式，那么p(x)是f(x)的导数的一个k1重因式。

12、设a,b,c,dF，且adbc0，对于任意的f(x),g(x)F[x]，则有(f(x),g(x))

(af(x)bg(x),cf(x)dg(x))。

13、设(f(x),g(x))1，试证：（1）(f(x),f(x)g(x))1；

34

（2）(f(x)g(x),f(x)g(x))1

bccaababc14、试证：b1c1c1a1a1b12a1b1c1。 b2c2c2a2a2b2a2b2c21a115、设A1a2111，Bb1b2b．（1）计算AB及BA； n1an（2）证明：BA可逆的充分必要条件是(nnina)(bi)naibi；

i1i1i1（3）证明：当n2时，AB不可逆。

16、若n阶矩阵A满足A2A2EO，证明AE可逆，并求AE1。

17、若n阶矩阵A满足A22A4EO，证明AE可逆，并求AE1

18、设n阶方阵A的伴随方阵为A*,证明：若A0,则A*0。 19、设A,B是n阶可逆矩阵,证明: (1) (A)1(A1)； (2) 乘积AB可逆。

20、证明:一个可逆矩阵可通过行初等变换化为单位矩阵。

21、证明：1）若向量组1n线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。 2）若向量组1n中部分向量线性相关，则向量组1n必线性相关。 22、 已知A为n阶方阵，A*为A的伴随阵，A0，则A*的秩为1或0。 23、 设A为n阶阵，求证，rank(AI)rank(AI)n。

24、设PAC是一个n阶方阵，其中A,B分别是r阶，s0B阶可逆阵，rsn，112（1）证明P1A1A1CB12（111110B1 ，2）设P0025 ，求P 。 001325、设n阶可逆方阵A的伴随方阵为A*,证明：AAn1、

26、已知n阶方阵A可逆，证明：A的伴随方阵A*也可逆,且(A*)1(A1)*。

35

27、设A，B均为n阶方阵，证明：

ABBAABAB

n128、令A是n(n2)阶矩阵A的伴随矩阵，试证：（1）detA(detA)（2）(A)(detA)n2；

A。

29．设A，其中A0并且ACCA，证明：C，B，D都是n阶矩阵，

ABCD ADCB。

30、已知方阵A满足A2AI0，试证：A可逆，并求出A1。

31、设A是一个秩为r的mn矩阵，证明：存在一个秩为nr的n(nr)矩阵B，使

2AB0。

32、证明：设A是nn正定矩阵，证明A也是正定的。

33、证明：正定对称矩阵的主对角线上的元素都是正定的。 34、设U是一个正交矩阵，证明：(1) U的行列等于1或1；（2）U的特征根的模等于1； （3）U的伴随矩阵U*也是正交矩阵。

35、设U是一个正交矩阵，且U1，证明：①U有一个特征根等于1。②U的特征多项式有形状fxxtxtx1,这里1t3。

32TTT36、设矩阵X(x1,x2,xn)满足XX1，E为n阶单位阵，HE2XX，证明H6是对称阵，且HHTE。

,r线性无关，而向量组1,2,,r,线性相关，证明：可以由

37、设向量组1,2,1,2,,r线性表出，且表示法唯一。

38、证明向量1,2,性组合。

,r（r2）线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向量的线

39、设向量可由向量组1,2,线性无关。

40、设在向量组1,2,,s线性表示，证明表法唯一的充要条件是1,2,,s,r中，10并且每一i都不能表成它的前i1个向量

,r线性无关。

1,2,,i1的线性组合，证明1,2,41、不含零向量的正交向量组是线性无关的。 42、证明向量1,2,

,r（r2）线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向量的线

36

性组合。

43、设向量组{1,2,,r}线性无关,而{1,2,,r,}线性相关,那么一定可以由

1,2,,r相性表示。

44、设,,线性无关，证明,,也线性无关。 45、设向量组{1,2,,n}线性无关，且kbkii1ni (k1,2,,n)

b11证明1，2，，n线性无关的一个充要条件是

b12b1nb21bn1b22b2n0

bn2bnn46、设112,223,334,441,证明向量组1,2,3,4线性相关

47、已知R(1,2,3)2，R(2,3,4)3，试证向量组1能用2，3线性表示。 48、设1,2,,s是非齐次线性方程组AXb的s个解，k1,k2,…,ks为实数，且

kss也是它的解。

,nr是对应的齐次线性方程

k1k2ks1，证明xk11k22*49、 设是非齐次线性方程组AXb的一个解，1,2,*组的一个基础解系,证明：, 1,2,,nr线性无关。

,nr是对应的齐次线性方程

*50、 设是非齐次线性方程组AXb的一个解，1,2,***组的一个基础解系,证明：, 1,2,,*nr线性无关。

51、设W1,W2是向量空间的两个子空间，那么它们的交W1W2也是V的一个子空间。 52、设W1,W2是向量空间的两个子空间，那么它们的交W1W2也是V的一个子空间。

53、（维数定理）设W1,W2都是数域F上的向量空间V的有限维子空间，那么W1W2也是有限维的，并且dim(W1W2)dim(W1)dim(W2)dim(W1W2)。 54、n个变量的二次型q(x1,x2,,xn)ai1j1nnijxixj的一切主子式都大于零，则

q(x1,x2,,xn)是正定的。

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1212233155、设1,2,3是三维欧氏空间V的一个标准正交基，试证：221223

3131222331也是V的一个标准正交基。

56．设1,2是线性变换A的两个不同特征值，1，2是分别属于1,2的特征向量，a,b都是非零常数，证明：向量a1b2不是A的特征向量。 57．设A的特征值为，如果A可逆，证明：A1的特征值为1。

，n 分别是的属于互58、令是数域C上向量空间V的一个线性变换，如果1，2，，n的本征向量，证明1，2，，n线性无关。 不相同的本征值1，2，59、 令是数域F上向量空间V的一个线性变换，如果1,2,相同的特征值1,2,,n的特征向量，那么1,2,,n分别是的属于互不

,n线性无关。

260、设是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果是正交变换又是对称变换，证明是单位变换。

61、设是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果是对称变换，且是单位变换。证明

2是正交变换。

62、证明:两个对称变换的和还是一个对称变换, 两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件、 63、设是n维欧氏空间V的一个线性变换，证明，如果满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（i）是正交变换，（ii）是对称变换，（iii）换。

、证明，一个正交变换的逆变换还是一个正交变换。

65、令是数域C上向量空间V的一个线性变换，如果(i)的特征多项式的根都在C内；

2I是单位变

(ii)对于的特征多项式的每一根，本征子空间V的维数等于的重数，证明：可以

对角化。

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