北师大版锐角三角函数知识点总结与典型习题(可打印修改)

直角三角形中锐角三解直角的边角关系

角函数三角形

实际问题1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 a2b2c22、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，B则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

斜边ca对边A

邻边

C定 义

表达式

取值范围关 系

正弦

sinAA的对边斜边sinAa0sinA1 c(∠A为锐角)

sinAcosBcosAsinB余弦

cosAA的邻边斜边cosAb0cosA1 csin2Acos2A1(∠A为锐角)

正切

tanAA的对边tanAatanA0A的邻边b(∠A为锐角)

tanA=tanB

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

由AB90sinAcosB得B90A

sinAcos(90A)Asin(90A) cosAsinBcos 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°

45°

60°

90°sin01232221cos13212220tan0

3不存在

31

31

6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。7、正切的增减性：当

0°<<90°时，tan随的增大而增大

一、知识性专题

专题1：锐角三角函数的定义 例1 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是 ( )A．sin A＝32 B．tan A＝12 C．cosB＝32 D．tan B＝3

例2 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝35,则tan A等于 ； ．

例3在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是

；

例4（2012内江）如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为

AADBCBC；

图4

图4

2

例5Rt△ABC,∠C=900,AB=6,cosB=3,则BC的长为

；

例6如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan,

即ctan=

角的邻边角的对边ACBC，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30◦= ；例7把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（　　）A．不变B．缩小为原来的

13　C．扩大为原来的3倍D．不能确定22题图例11. （2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若

EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于 ．2

例12（2011山东日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=

ba．则下列关系式中不成立的是（　　）A．tanA•cotA=1B．sinA=tanA•cosA C．cosA=cotA•sinAD．tan2A+cot2A=1点评：本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sin2A+cos2A=1 （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=

sinAcosB或sinA=tanA•cosA．（3）正切之间的关系：tanA•tanB=1．例13（2011•贵港）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，

BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是 ．

例14如果△ABC中，sinA=cosB=22，则下列最确切的结论是（ ）A. △ABC是直

角三角形 B. △ABC是等腰三角形C. △ABC是等腰直角三角形D. △ABC是锐角三角

形

A、

332sin3032an452cot45B’

C’CA

B

旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为

．

2点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是 ．

3已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（　　）

A、sinA=cosAB、sinA＞cosAC、sinA＞tanA

D、sinA＜cosA

3

4、（2011•宜昌）教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=33，则边BC的长为

．cm

5、 （2011福建莆田）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为 ．

7、（2012福州）如图15，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 .（结果保留根号）

8、（2012南京）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合.OB与尺上沿的交点B在尺上的读书恰为2厘米，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 厘米.（结果精确到0.1厘米，参考数据

BC1234OAsin370≈0.60,cos370≈0.80,tan370≈0.75）

解析：由于∠AOB=45°，B点读书为2厘米，则直尺的宽为2厘米，解直角三角形得点C的读数为2÷tan370≈2÷0.75≈2.7厘米.答案：2.7

9、（2012·湖南张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=

32千米，请据此解答如下问题：（1） 求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据2≈1.414 31.73 62.45）（2） 求∠ACD的余弦值.

4

ADBC

（2）cos∠ACD=

CDAC321521

5

.

专题2 特殊角的三角函数值

例1（2012，湖北孝感）计算：cos245°+tan30°·sin60°=________．

例2（2012陕西）计算：2cos45　-38+1-20=．

例3(2012广安)计算：

18(23)cos45o+312 ； 例4 计算|－3|＋2cos 45°－(3－1)0． 例5 计算－1＋9＋(－1)20072－cos 60°．

例6 计算|－2|＋(cos 60°－tan 30°)0＋8．3

例7 计算12－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－132. 例8计算：

145|12|21sin【解析】三角函数、绝对值、乘方【答案】

1sin45|12|21例9计算：sin230°+tan44°tan46°+sin260°=　 　．5

分析：根据特殊角的三角函数值计算．tanA•tan（90°﹣A）=1．

例10（2011•莱芜）若a=3﹣tan60°，则(12a1)a26a9a1

= 。练习1、（2011浙江）计算：|－1|－128－（5－π）0+4cos45°. 练习2、（2011浙江衢州）（1）计算：|﹣2|﹣（3﹣π）0+2cos45°；练习3、计算：20110＋8－2sin45°；

练习3、观察下列各式：①sin 59°＞sin 28°；②0＜cosα＜1(α是锐角)；③tan 30°

＋tan 60°＝tan 90°；④tan 44°＜1．其中成立的有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个练习4、计算2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝ ．练习5、如图28－146所示，在△ABC中，∠A＝30°，

tanB＝13，BC＝10，

则AB的长为 ．

练习8、若∠A，∠B互余，且tan A－tan B＝2，则tan2A＋tan2B＝ ．

练习9、如图28－147所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于

E，EC＝1，cosB＝513，则这个菱形的面积是 .

10．已知正方形ABCD的边长为1，若将线段BD绕着点B旋转后，

点D落在DC延长线上的点D′处，则∠BAD′的正弦值为 .

11．如图28－148所示，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD的形状，并

使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等于 ．

12．在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝2，AB＝2，则BC＝ ．13．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为5．则θ＝ ．

14．如图28－149所示，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，BD＝4，AD＝BC，

cos∠ADC＝35． (1)求DC的长；(2)求sinB的值．

★专题三：题型一俯角与仰角仰角：视线在水平线上方的角；

仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰★俯角：视线在水平线下方的角。

仰仰6