中考数学压轴题(六)折叠问题

折叠问题

折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。

压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多做折叠的选择题填空题，很有必要。

1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若CDE48°，则APD等于（ ） A．48° C ．52° D．58° 42° B．

BA'D 2、（2009湖北省荆门市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则ADB（ ） A．40° B．30° C．20° D．10° 3、（2009年日照市）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ． 4、（2009年衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为 A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5 AA

MB

M

C

图3 C B

（第18题图）

第4题图 第5题图 第6题图 5、（2009泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为 ．

6、(2009年上海市)在Rt△ABC中，BAC90°，AB3，M为边BC上的点，联结AM（如图3所示）．如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是 ．

7、(2009宁夏) 如图：在Rt△ABC中，ACB90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：EC∥AB．

C E

1

CA第2题图

第3题图

A

D

B

中考压轴题（六）--折叠问题

8、（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B和C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h． （1）请你用含x的代数式表示h． （2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，

△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？

A

M N C B 9、（2009恩施市）如图，在△ABC中，A90°，BC10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．设DEx，以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的△ADE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．

A （1）用x表示△ADE的面积；

E D （2）求出0x≤5时y与x的函数关系式；

（3）求出5x10时y与x的函数关系式； AC B （4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

提示：相似、二次函数

A

C B

10、（2009天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中AOB90°，OA2，OB4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点y D．

B （Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；

提示：画出图形，图中性质△ACD≌△BCD,△BDC∽△BOA,BC=AC

O A x 2

中考压轴题（六）--折叠问题

（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OBx，OCy，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；

y 提示：画图，△COB＇中由勾股定理得出函数关系式，由x取值范围确定y范围。 B

O

（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使BD∥OB，求此时点C的坐标．

A x 提示：画图，△COB＇∽△BOA

2y B O A x 11、（2009年湖南长沙）如图，二次函数yaxbxc（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(3，0)、C(0，3)，且当x4和x2时二次函数的函数值y相等．

（1）求实数a，b，c的值；

（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

提示：第（2）问发现特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°特殊图形四边形BNPM为菱形； 第(3)问注意到△ABC为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC相似的△BNQ ，再判断是否在对称轴上。

3

y P C N M O B A x 中考压轴题（六）--折叠问题

12、（2009年浙江省）已知抛物线yx2xa（a0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线

21xa分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N. 2(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M ， ，N ， ； (2)如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

2(3)在抛物线yx2xa（a0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由. y y y C C N N′ N O O x x D B B

A A

M M

第（2）题 备用图

（第12题）

13、(2009成都)如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′=_____． 14、（2009年凉山州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C处，BC交AD于E，则下列结论不一定成立的是（ ）

A．ADBC B．EBDEDB C．△ABE∽△CBD D．sinABEAE ED 15、（2009年衡阳市）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ） A．1 B．

43 C． D．2 32D C A′ A′AEDC

A B

E D C

A G

B BC4

中考压轴题（六）--折叠问题

16、（2009东营）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 （ ） （A）70°（B）65°（C）50°（D） 25°

G

E E F D A C D F D C

D′

B F C

A B C′ B A E （17题）

17、（2009年淄博市）矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（ ）

115A． 8 B． C． 4 D．

22 18、（09四川绵阳）如图，四边形ABCD是矩形，AB:AD = 4:3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE:AC =（ ）

A．1:3 B．3:8 C．8:27 D．7:25 19、（2009仙桃）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝3，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）． A、3 B、2 C、3 D、23

20、（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.

（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.

（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.

5

中考压轴题（六）--折叠问题

21、（2009年鄂州市）如图27所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO (1)试比较EO、EC的大小，并说明理由 (2)令mS四边形CFGHS四边形CNMN；，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由

(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝

122

，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx+bx+c经过C、Q两33点，请求出此抛物线的解析式.

2

(4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。 22、（2009年湖北荆州）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

A M F N

BNCD AEMA'D C B E 第24题图 第23题图

第22题图

23、(2009年温州)如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA恰好与⊙0相切于点A ′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是 24、（2009年北京市）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N= ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n2,且n为整数），则A′N= （用含有n的式子表示）

6

中考压轴题（六）--折叠问题

25、（2009山西省太原市） 问题解决 如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当

CE1AM的值． 时，求BNCD2A M F

D

A

M

方法指导： AM 为了求得的值，可先求

BN BN、AM的长，不妨设：AB=2

类比归纳 在图（1）中，若

F

D E

E

B

B

N 图（1）

C

N 图（2）

C

CE1AMCE1AM则的值等于 ；若则的值等于 ； ，，BNBNCD3CD4CE1AM若，则的值等于 ．（用含n的式子表示） （n为整数）

BNCDn联系拓广

如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设

AB1CE1AM则的值等于 ．（用含m，n的式子表示） m1，，BNBCmCDn

26、（2009年哈尔滨）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A´处，若∠A´BC＝20°，则∠A´BD的度数为（ ）． （A）15°（B）20°（C）25°（D）30° A D

A

C B

27、(2009年抚顺市)如图所示，已知：Rt△ABC中，ACB90°．

（1）尺规作图：作BAC的平分线AM交BC于点D（只保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作图形中，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使点A与点D重合，折痕EF交AC于点E，交AB于点F，连接DE、DF，再展回到原图形，得到四边形AEDF．

①试判断四边形AEDF的形状，并证明；

②若AC8，CD4，求四边形AEDF的周长和BD的长．

A C

B

7