课时分层作业20 二元一次不等式(组)与平面区域

与平面区域

附加答案 [基础达标练]

一、选择题

1．已知点P1(0，1)，P2(2，1)，P3(－1，2)，P4(3，3)，则在4x－5y＋1≤0表示的平面区域内的点的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4 C [经验证，P1，P3，P4均在区域内．]

2．原点(0，0)和点(1，1)在直线x＋y＝a的两侧，则a的取值范围是( ) A．a<0或a>2 C．a＝2或a＝0

B．0B [直线方程为x＋y－a＝0，因为(0，0)和(1，1)在直线两侧，则(0＋0－a)(1＋1－a)<0，∴a(a－2)<0，∴03．已知点(a，2a－1)，既在直线y＝3x－6的上方，又在y轴的右侧，则a的取值范围是( )

A．(2，＋∞) C．(0，2)

B．(－∞，5) D．(0，5)

a>0，D [由题可得⇒02a－1>3a－6

x≥0，

4．不等式组x＋3y≥4，所表示的平面区域的面积等于(

3x＋y≤4，

3A．2 4C．3

2B．3 3D．4 )

C [不等式组表示的平面区域如图所示．

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4

交点A0，3，B(0，4)，C(1，1)，

414

4－∴S△ABC＝2××1＝33.] 

2x＋y≤2，

5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a

y≥0，x＋y≤a

的取值范围是( )

4

A．a≥3 4

C．1≤a≤3

B．0D．0x－y≥0，

D [先画出不含参数的不等式表示的平面区域，如图所示，要使不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，需22

使直线x＋y＝a在点A(1，0)的下方或在点B3，3的上方．当



4

直线x＋y＝a过点A时，a＝1.当直线x＋y＝a过点B时，a＝3.又因为直线x＋y4

＝a必在原点O的上方，所以0二、填空题

6．表示如图阴影部分所示平面区域的不等式组是________．

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2x＋3y－12≤02x－3y－6≤0 3x＋2y－6≥0

[由所给的图形容易知道，点(3，1)在相应的平面区域内，

将点(3，1)的坐标分别代入3x＋2y－6、2x－3y－6、2x＋3y－12中，分别使得3x＋2y－6>0、2x－3y－6<0、2x＋3y－12<0，再注意到包括各边界，故图中阴影部分所示平面区域的不等式组是

2x＋3y－12≤0，2x－3y－6≤0，] 3x＋2y－6≥0.

7．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．

6 [由题意点(x，y)的坐标应满足

x∈N，

y∈N，由图可知 x＋y≤2，

整数点有(0，0)，(1，0)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，(1，1)，共6个．]

x≤0，

8．若不等式组y≥0，表示的平面区域为Ω，则当a从－2连续变化到1

y－x≤2

时，动直线x＋y－a＝0扫过Ω中的那部分区域的面积为________．

7

[如图所示，Ω为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y4

＝a扫过Ω中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2，0)，13

O(0，0)，C(0，1)，D－2，2，E(0，2)，△CDE为直角三角

形，

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∴S四边形BOCD＝S△BOE－S△CDE＝2×2×2－2×1×2＝4.] 三、解答题

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9．一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元，又知其他费用最少需支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？请用不等式(组)表示出来，并画出对应的平面区域．

[解] 不妨设用餐费为x元，其他费用为y元，由题意知x不小于240，y不

y的和不超过500，用不等式组表示就是x＋y≤500，小于180，x与x≥240，

y≥180.

对应的平面区域如图阴影部分所示．

10．画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域． [解] (x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0， 等价于x＋2y＋1＞0，

x－y＋4＜0，①

或x＋2y＋1＜0，



x－y＋4＞0，② 则所求区域是①和②表示区域的并集．

不等式x＋2y＋1＞0表示直线x＋2y＋1＝0右上方的点的集合， 不等式x－y＋4＜0表示直线x－y＋4＝0左上方的点的集合． 所以所求不等式表示区域如图所示．

[能力提升练]

1．设x，y满足约束条件3x＋2y－6≤0，x≥0，则z＝x－y的取值范围是(

y≥0，

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)

A．[－3，0] C．[0，2]

B．[－3，2] D．[0，3]

B [画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2，0)时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0，3)时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.

所以z＝x－y的取值范围是[－3，2]．故选B.]

x＋y－2≤0，4

2．若不等式组x＋2y－2≥0，表示的平面区域为三角形，且其面积等于3，

x－y＋2m≥0

则m的值为( )

A．－3 4C．3

B．1 D．3

B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为2－4m2＋2m

A(2，0)，B(1－m，1＋m)，C，3，D(－2m，0)．

3

2＋2m11

＝(1＋S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝2|AD|·|yB－yC|＝2(2＋2m)1＋m－

3m－24

＝，解得m＝1或m＝－3(舍去)． m)1＋

33

]

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x＋y－2≥0，

3．不等式组x＋2y－4≤0，表示的平面区域的面积为________．

x＋3y－2≥0

4 [画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

易得B(2，0)，C(0，2)，D(4，0)． x＋3y－2＝0，由得A(8，－2)． x＋2y－4＝0

11

所以S△ABC＝S△CBD＋S△ABD＝2×2×2＋2×2×2＝4.]

x－2y≥0，

4．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在

x＋3y≥0区域D内的弧长为________．

π

[作出区域D及圆x2＋y2＝4如图所示， 2

图中阴影部分所在圆心角θ＝α＋β所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜11

2＋31111

率分别为2，－3即tan α＝2，tan β＝3，tan θ＝tan(α＋β)＝

11＝1， 1－×23

πππ

所以θ＝4，故弧长l＝θ·R＝4×2＝2.] x－y＋8≥0，5．设不等式组x＋y≥0，表示的平面区域是Q.

x≤4

(1)求Q的面积S；

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(2)若点M(t，1)在平面区域Q内，求整数t的取值集合．

[解] (1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示)． x＋y＝0，由 x＝4，解得A(4，－4)， x－y＋8＝0，由 x＝4，解得B(4，12)， x－y＋8＝0，由 x＋y＝0，解得C(－4，4)．

于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8. 1

∴S＝2×16×8＝.

t＋1≥0，

(2)由已知得t≤4，

t∈Z，

t≥－7，

t－1＋8≥0，

t≥－1，－1≤t≤4，即亦即

t≤4，t∈Z，t∈Z，

得t＝－1，0，1，2，3，4.

故整数t的取值集合是{－1，0，1，2，3，4}．

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