人教版七年级数学上册 第三章 一元一次方程 综合复习（无答案）
一元一次方程综合复习
【本讲教育信息】
一. 本周教学内容：
1. 一元一次方程及其相关概念．
2. 了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x＝a的形式），利用等式的性质探究一元一次方程的解法．
3. 培养运用数学知识分析问题、解决问题的能力，提高创新能力．体会建立数学模型的思想，会找出简单应用题中的已知数、未知数和表示应用题全部含义的相等关系，列出需要的方程，进而求得应用题的解．
二. 知识要点：
1. 方程的有关概念
（1）含有__________的等式叫做方程．只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是__________（次），这样的方程叫做一元一次方程．如：7－5x＝3，3（x＋2）＝4－x等都是一元一次方程．
（2）使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．注：①方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值（或几个数值），而解方程是指求出方程的解的过程．②方程的解的检验方法：把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，比较两边的值是否相等． 2. 等式的性质
等式的性质（1）：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等．用式子形式表示为：如果a＝b，那么__________．
等式的性质（2）：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．用式子形式表示为：如果a＝b，那么__________；如果a＝b（c≠0），那么__________． 3. 移项法则
把等式一边的某项__________后移到另一边，叫做移项． 4. 去括号法则
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号_______． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号_______． 5. 解方程的一般步骤
（1）去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数） （2）去括号（按去括号法则和分配律进行）
（3）移项（把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号）
（4）合并（把方程化成ax＝b（a≠0）形式）
b
（5）系数化为1（在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝）
a6. 常见应用题类型及各量之间的关系
（1）和、差、倍、分问题：①倍数关系：关键词是“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”．②多少关系：关键词是“多、少、和、差、不足、剩余……”．
（2）等积变形问题：是指形状改变，而体积（或面积）不变．
（3）劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化，是调入了多少人，还是调出了多少人．
（4）数字问题：①数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数
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字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a＋10b＋c．②：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；两个连续偶（或奇）数之间的关系是较大的数比较小的大2．三个连续整数可表示为：___________________；三个连续奇数可表示为：_______________；三个连续偶数可表示为：_______________．
（5）工程问题：工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间． （6）行程问题：行程问题中的三个基本量及其关系：路程＝速度×时间，基本类型有：①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；环形跑道问题．③顺逆流问题，其基本量及关系：顺流速度＝静水速度＋水流速度，逆流速度＝静水速度－水流速度．
（7）销售问题：有关关系式是：商品利润＝商品售价—商品进价＝商品标价×折扣率
商品利润
—商品进价，商品利润率＝，商品售价＝商品标价×折扣率．
商品进价（8）存款利息问题：①顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率．利息的20%付利息税．②利息＝本金×利率×期数，本息和＝本金＋利息，利息税＝利息×税率（20%）．
（9）比例分配问题：甲∶乙∶丙＝a∶b∶c，全部数量＝各种成份的数量之和．
三. 重点难点：
一元一次方程解法及其应用是本章的重点，难点则是列一元一次方程解应用题．
四. 考点分析：
方程知识是历年中考的一个重点，也是一个热点．所占考题不会少于全卷的10%．多以填空题、选择题为主，且难度不大，考查方程的解法和应用多以解答题为主，难度为中等，命题形式也不再是单一的传统行程问题、工程问题、数学问题，而是转向市场营销、生产控制、旅游、税收等与现实生活贴近的新题型．
【典型例题】
例1. 若关于x的方程ax2－5x－6＝0的一个解是2，求a的值．
分析：根据方程解的含义，把x＝2代入原方程，可得到一个关于a的新方程，解这个方程即可得到a的值．
解：把x＝2代入方程ax2－5x－6＝0，得 a×22－5×2－6＝0 4a－16＝0 解得，a＝4
评析：一般地，没有特别说明，x是方程的未知数，这里所说的“关于x的方程”是指只有x是未知数，而其他的字母看作已知数．方程的解是指所求的未知数的值，在将方程的解代入时一定要对号入座．
x1
例2. 解方程＋[1－（4x－1）]＝1．
32
分析：解方程时去括号的顺序一般是先去小括号，再去中括号，去完括号后再去分母．
x1
解：去括号，得＋[1－2x＋]＝1
32
x3－2x＋＝1 32去分母，得2x－12x＋9＝6 移项，得2x－12x＝6－9
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合并，得－10x＝－3
3
系数化为1，得x＝
10
评析：去括号时一定要注意负数符号，去分母时，要注意不要漏乘没有分母的项．
例3.古尔邦节，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．圆桌半径为60cm，每人离圆桌的距离均为10cm，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为x，根据题意，可列方程（ ）
2π（60＋10）2π（60＋10＋x）A. ＝ 68
2π（60＋10）2π×60B. ＝
66
C. 2π（60＋10）×6＝2π（60＋x）×8
D. 2π（60－x）×8＝2π（60＋x）×6
分析：相等关系明显，6人时两人之间的圆弧长＝8人时两人之间的圆弧长．6人时，这6个人所在圆（不是圆桌）的周长是2π（60＋10）；8人时，这8个人所在圆的周长是2π（60＋10＋x）．分别除以对应的人数，商相等．
解：A
评析：这是一道图形变化问题，抓住问题的关键：变化前后两人之间的圆弧的长相等．
例4. 某件商品的价格是按毛利率20%计算的，后因库存积压，决定降价出售，如果每件商品仍能获得2%的毛利，试问应按现价的几折出售？
分析：商品的价格变化情况和数量关系用下图表示，从图中可以看出：成本加毛利润20%再打折后的售价和成本直接加毛利2%的售价是一样的，这就是相等关系，只要设所打的折数为x，把成本价看成1或设为a元，就可以列出方程．
加毛利润20% 打折成本 原售价 现售价成本 现售价毛利2% 解：设应按现价的x折出售，再设商品的原价为a元，根据题意得：
x
（a＋20%a）×＝a＋2%a，
10
解得，x＝8.5．
答：应按现价的8.5折出售．
评析：这道题的数量关系不明显，可以借助图形分析．要注意这样一个事实：成本＋利润＝售价，成本×（1＋利润率）＝售价，原价×折扣＝现价．
例5. A、B两地相距176 km，其间一处因山体滑坡导致连接这两地的公路受阻．甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上8时，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡点疏通公路．10
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时，甲队赶到立即开始作业，半小时后乙队赶到，并迅速投入“战斗”与甲队共同作业．若
3
滑坡受损公路长1 km，甲队行进的速度是乙队的倍多5 km，求甲、乙两队赶路的速度．
2
分析：数量关系如下：
甲队所走路程1km乙队所走路程甲队所用时间乙队所用时间半小时176km3
解：甲队行进了2小时，乙队行进了2.5小时．设乙队的速度为x km/h，则甲队为（x
2＋5）km/h，由题意列方程得：
3
2.5x＋（x＋5）×2＋1＝176
2
整理得，5.5x＝165 解得，x＝30 1.5x＋5＝1.5×30＋5＝50
答：甲队赶路的速度为50 km∕h，乙队赶路的速度为30 km∕h．
评析：这是一个行程问题，除了基本的数量关系“路程＝速度×时间”外，还用到了相等关系：各分量之和＝总量，这也正是本题列方程的依据．
【方法总结】 1. 化归思想
化归思想，是指在求解数学问题时，如果对当前的问题感到困惑，可把它进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，从而使问题得以解决的思维方法．如解方程的过程，就是把形式比较复杂的方程，逐步化为最简方程ax＝b（a≠0），从而求出方程的解． 2. 方程思想方法
方程思想方法是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一起参加运算．这种思想方法在数学中是常用的重要方法，是代数解法的重要标志．列方程解应用题，就是方程思想的具体应用．
8点 10点
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 选择题
1. 下列四个方程中，一元一次方程是（ ）
1A. ＝1 B. x＝0 C. x2－1＝0 x2.方程2x＋1＝0的解是（ ）
11A. B. － 22
C. 2
D. x＋y＝1
D. －2
3.方程3x＋6＝0的解的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. 3 D. －3
*4. 一家服装店将某种服装按进价提高50%后标价，又以八折销售，售价为每件360元，
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则每件服装获利（ ）
A. 168元 B. 108元
C. 60元 D. 40元
ab 2x－4＝*5.对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：＝ad－bc，已知 cd x 118，则x＝（ ）
A. －1 B. 2 C. 3 D. 4
*6. 某商店有两个进价不同的计算器都卖元，其中一个盈利60％，另一个亏本20％，在这次买卖中，这家商店（ ）
A. 不赔不赚 B. 赚了8元 C. 赔了8元 D. 赚了32元
**7.新制作的渗水防滑地板是形状相同的长方形．如图，三块这样的地板可以拼成一个大的长方形．如果大长方形的周长为150厘米，则一块渗水防滑地板的面积是__________平方厘米．（ ）
A. 450
B. 600
C. 900
D. 1350
二. 填空题
1－2x
1. 当x＝__________时，代数式的值为0．
51
2. 设某数为x，如果比它的大1的相反数是4，则可列方程为__________．
4
3. 已知关于x的方程3x＋a＝1的解比关于x的方程4x＋a＝0的解小2，则a的值为__________．
4. “五·四”青年节，市团委组织部分中学的团员去西山植树．某校九年级（3）班团支部领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有__________棵．
5.如图，某商场正在热销2008年北京奥运会的纪念品，小华买了一盒福娃和一枚奥运徽章，已知一盒福娃的价格比一枚奥运徽章的价格贵120元，则一盒福娃价格是__________元．
一共花了170元
6.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本价为__________元．
**7. 如图，航空母舰以200千米/时的速度由西向东航行，飞机以800千米/时的速度从舰上起飞，向西航行执行任务，如果飞机在空中最多能连续飞行3个小时，那么它在起飞______小时后就必须返航．
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三. 解答题
1. 解下列方程
（1）4x－3（20－x）＝6x－7（9－x）
y＋2yy－1
（2）－＝1－
525
2. 萨姆·劳埃德的砖重趣题
问：如果一块砖与四分之三块砖加四分之三磅等重，则砖重几磅？
3.某校团支部发出为灾区捐款的倡议后，全校师生奉献爱心，踊跃捐款，已知全校师生共捐款4万5千元，其中学生捐款数比老师捐款数的2倍少9千元，该校老师和学生各捐款多少元？
*4. A、B两地间的路程为360km，甲车从A地出发开往B地，每小时72km，甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48km，两车相遇后，各自仍按原速度方向继续行驶，那么相遇以后两车相距100km时，甲车从出发共行驶了多少小时？
甲所走的路程25分钟路程乙所走的路程100km全程360km
5. “五·一”节快到了，小华、小颖、小明相约到“心连心”超市调查“农夫山泉”矿泉水的日销售情况．下图是调查后三位同学进行交流的情景．
请你根据上述对话，解答下列问题：
（1）该超市的每瓶“农夫山泉”矿泉水的标价为多少元； （2）该超市今天销售了多少瓶“农夫山泉”矿泉水． **6. 《河北科技报》的“智慧树”栏目有这样一道题：
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燃烧的蜡烛
两支同样长的新蜡烛，粗蜡烛全部点完要2小时，细蜡烛全部点完要1小时，同时点燃这两支蜡烛，到同时熄灭时，剩下粗蜡烛的长是剩下细蜡烛长的3倍，求蜡烛点燃了多长时间．
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【试题答案】
一. 选择题
1. B 2. B 3. A
4. C 提示：设进价为x元，则（1＋50%）x×0.8＝360，解得x＝300，360－300＝60（元） 5. C
6. B 提示：设盈利的计算器进价为x元，则（1＋60%）x＝，解得x＝40；设亏本的计算器进价为y元，则（1－20%）y＝，解得y＝80．2×－40－80＝8（元）
7. A 提示：从图中可以看出，小长方形的长等于小长方形的宽×2，设小长方形的宽为x，则其长为2x，有2x＋x＋x＋2x＋x＋2x＋x＝150，解得x＝15，2x＝30，所以小长方形的面积是15×30＝450（平方厘米）．
二. 填空题
11. 2
1
2. －（x＋1）＝4
4
3. 28
4. 121 提示：设人数为x，则4x＋37＝6x－a，(35. 145 6. 125 97. 提示：设起飞x小时后就必须返航，则800x＋200x＋200（3－x）＝800（3－x），解得x＝．
8
三. 解答题
1
1. （1）x＝（2）y＝－1
2
2. 3磅
3. 提示：设老师捐款x万元，则x＋2x－0.9＝4.5，解得x＝1.8（万元），2x－0.9＝2.7（万元）
25
4. 提示：设甲车从出发共行驶了x小时，则72x＋48（x－）＝360＋100，解得x＝4（小
60时）．
5. （1）设“农夫山泉”矿泉水的标价是x元，则八折后的售价是0.8x元，根据题意得：0.8x－1
＝20%，解得：x＝1.5（元） 1（2）360÷（0.8×1.5）＝300（瓶） 答：（1）每瓶“农夫山泉”矿泉水的标价为1.5元（2）今天销售了300瓶“农夫山泉”矿泉水．
x
6. 提示：设蜡烛点燃了x小时，把蜡烛的总长看成1，则粗蜡烛x小时点燃了，细蜡烛
2
x14
x小时点燃了，根据题意得：1－x＝3（1－x），解得x＝（小时）．
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