２０１２年８月 Ａｕｇ．２０１２ 汕头大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｎｔｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） 第２７卷第３期 ＶｏＪ．２７ Ｎｏ．３ 文章编号：１００１—４２１７（２０１２）０３—００２３—０５ 实物型投入产出模型直接消耗系数矩阵的研究 史永杰 （汕头大学数学系，广东汕头５１５０６３） 摘要：针对实物型Ｌｅｏｎｔｉｅｆ投入产出模型，提 一个新的关于直接消耗系数矩阵具有生产 能力的充要条件，即直接消耗系数矩阵的谱半径小于１，该方法更为直接简单．进一步应用 矩阵论中关于谱半径的估计，得到一些关于直接消耗系数矩阵具有生产能力的充分条件． 关键词：Ｌｅｏｎｔｉｅｆ投入产出模型；直接消耗系数矩阵；生产能力 中图分类号：Ｏ ２９ 文献标识码：Ａ Ｏ 引 言 Ｌｅｏｎｔｉｅｆ投入产出模型【ｕ是Ｗａｓｓｉｌｙ Ｌｅｏｎｔｉｅｆ在上世纪三十年代建立起来的，用于研 究国民经济各部门之间的相互联系．后来，有经济学者对Ｌｅｏｎｔｉｅｆ的模型进行了推广研 ’ ，但常用的还是Ｌｅｏｎｔｉｅｆ原始模型．按照投入产出表中计量单位的不同，投入产出 模型划分为实物型（按实物单位计量）和价值型（按货币单位计量）两种．目前对于价值型 投入产出模型及其相关系数矩阵的研究已有很多成果［４．５１，而对于实物型投入产出模型【ｑ的 相关研究并不多见．本文就针对该模型研究了直接消耗系数矩阵具有生产能力的充要条 件以及一些充分条件．由于投入产出模型具有明显的计划经济特征，我国学者历来有运 用投入产出模型进行实证分析的传统．近年来，投入产出模型的实证研究更趋细致，如 文献［７］研究了近年来十分热门的消费和出口问题，文献［８］研究了保障性房建设对投资 的影响，文献［９］研究了能源对产业结构的影响． １ 预备知识 设有ｎ种产品，通过搜集数据可以制作出实物型投入产出表，见表１．这个投入产 出表第ｉ行表示产品ｉ在各个领域的分配，第ｉ列表示生产产品 所耗费的资源．比如看 第一行，总共生产了 单位的产品１，其中 单位用于生产产品１， 产品２，……， 单位用于生产 用于生产产品 ，最后有ｄ．单位被消费者消费．再看第一列，为了生 产 ，单位的产品１，用了Ｘ 单位的产品１， 单位的产品２，……，．１６ 单位的产品 ． 这里，由于简化的关系，略去了生产中劳动力的投入产出讨论． 收稿日期：２０１２—０３—０８ 作者简介：史永杰（１９８２一），女，助教（在读博士生）；研究方向：数值分析．Ｅ－ｍａｉｌ：ｙｊｓｈｉ＠ｓｔｕ．ｅｄｕ 基金项目：广东省自然科学基金资助项目（编号：１０１５１５０３１０１００００２３） ２４ 汕头大学学报（自然科学版） 表１实物型投入产出表 产品 ｌ ２ 第２７卷 ｌ ０ ＩＸ２１ ２ １２ 丑 最终需求 ｄｌ 总产出 Ｘ２ ｎ Ｘｍ２ Ｍ ｌ投入产出表中第ｉ行（ｉ＝１，２，…，１２）满足等式： ２ ０＋ｄｌ＝ 』＝１ （１） ． 令 ， ，即生产一单位的产品需要消耗啦ｆ单位的产品ｉ，称 ，为直接消耗 称为直接消耗系数矩阵．又当生产产品ｉ的技术不变时， （２） 系数．由 构成的矩阵Ａ＝（ （，一Ａ ＝ｄ 嘞不会改变，故又称 为技术系数，Ａ为技术系数矩阵．于是，（１）写成矩阵形式即为 其中 ＝（ 定义． …，Ｘｎ） 为总产出向量，ｄ＝（ｄ。， ，…，ｄ ） 为最终需求向量．而生产的目 的是为了消费，所以我们只对能保证ｄ ，ｄ２，…， 均为正的模型感兴趣．于是，有如下 定义１［２’６１ 设 为一个Ｌｅｏｎｔｉｅｆ投人产出模型的直接消耗系数矩阵．如果存在每 个分量均非负的向量 ，使得（，一Ａ 的所有分量均为正数，则称 是具有生产能力的． 关于直接消耗系数矩阵是具有生产能力（ｐｒｏｄｕｃｔｉｖｅ）的，有下面的经典结论 ． 定理ｌ 直接消耗系数矩阵 是具有生产力的当且仅当（，一Ａ） 的每个分量均非 负． 这个结论需要计算矩阵的逆才能判断一个投入产出模型是否具有生产能力．当矩阵 规模很大的时候，这是相当复杂的．所以，寻求更为直接的判断准则是有理论研究和应 用价值的．基于此考虑，本文得到如下主要结论： 定理２设Ａ是一个Ｌｅｏｎｔｉｅｆ投入产出模型的直接消耗系数矩阵，则Ａ是具有生产 能力的当且仅当 的谱半径小于１． ２主要结论的证明 为了证明主要结论，需要用到下面的Ｐｅｒｒｏｎ—Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ定理．由于该定理结论较多， 在这里只陈述该定理中我们会用到的相关部 Ⅲ１． 定理３（Ｐｅｒｒｏｎ—Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ）设Ａ是所有分量均非负的实方阵，则存在４的一个非负特 征值Ａ及关于Ａ的特征向量 使得： １． 的每个分量均非负； ２．Ａ等于Ａ的谱半径． 上述定理中的Ａ一般称为矩阵Ａ的Ｐｅ￣ｏｎ—Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ特征值或主特征值． 证明：必要性：设Ａ为 的Ｐｅ￣ｏｎ—Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ特征值， 为关于Ａ的非负特征向量． 由定理１， （，一４） 存在，所以１不是Ａ的特征值．故Ａ≠１．又 第３期 史永杰：实物型投入产出模型直接消耗系数矩阵的研究 ２５ （，一Ａ） ：（，一Ａ） 所以 （，一 ） ＝一 （３） （４） 由定理１， （，一 ） 的所有分量非负及 非负， （，一Ａ）一 的所有分量非负．于是， 由上等式，我们有 Ａ＜１ （５） 于是， 的谱半径小于１． 充分Ｊｌ生：因为Ａ的谱半径小于１，由Ｎｅｕｍａｎｎ公式， （，一Ａ）一 ＝，＋Ａ＋４ ＋…＋４ ＋… （６） 注意到直接消耗系数矩阵 的所有分量均非负，所以（，一４） 非负．于是，由定理１，Ａ 是具有生产能力的直接消耗系数矩阵． ３几个相关推论及证明 根据矩阵谱半径的估计（即矩阵的谱半径小于等于其任一矩阵范数 ｌ和定理２，可 以得到如下推论． 推论１设 是一个Ｉ＿ｅｏｎｔｉｅｆ投入产出模型的直接消耗系数矩阵，如果存在矩阵范 ・０，使得ＩＡ ｌ＜１，则Ａ是具有生产能力的． 将上述推论应用到１，∞范数上，我们得到如下推论． 推论２设４是一个Ｌｅｏｎｔｉｅｆ投入产出模型的直接消耗系数矩阵，如果 ∑ ＜１（１≤ｉ≤ ）或∑ａｉ ＜ｌ（１≤ ≤ｎ）则Ａ具有生产能力． 』＝１ ｉ＝１ 注意到矩阵论中一个熟知的恒等式： ｐ（Ａ）＝ｌｉｍ （７） 其中ｐ（Ａ）表示４的谱半径， ・ 某一个矩阵范数．我们可以得到如下结论： 推论３设Ａ是一个Ｉ￣ｏｎｔｉｅｆ投入产出模型的直接消耗系数矩阵，则Ａ是具有生产 能力的当且仅当存在自然数Ⅳ，使得Ｉ４ ＜１． 证明：必要性 由定理２和（７）显然成立．故只需证明充分性．因为 ・０ 是矩阵范 数，我们有 Ａ １ ≤ｌＡ ｌ （８） 对任意自然数ｋ均成立．于是 ０ Ｉ Ｋ ≤ＩＩＡ ｌ Ｎ＜１ 从而 １ 】 （９） ｐ（Ａ）＝ｌｉａｒ ＩＩＡ ｍ— ∞ ＝ｌｉｍ 州 ＜１ ∞ （１０） 再由定理２可知 是具有生产能力的． 由矩阵理论中的Ｏｓｔｒｏｗｓｋｉ定王里【“１，我们还可以得到如下推论． ２６ 汕头大学学报（自然科学版） 第２７卷 推论４设Ａ是一个Ｌｅｏｎｔｉｅｆ投入产出模型的直接消耗系数矩阵，令 ＝∑ 且 ＝ Ｊ≠ｉ ∑ 又设 是落在区 ０，１】中的常数．如果 ｍａｘ ｌ＋ＲＴＬ ｌ＜１ 或 ｍａｘ｛Ｉｔ Ｉ＋ａＲ ＋（１一 ）￡ ｝＜１ 则Ａ具有生产能力． 参考文献： （１２） ［１１ Ｌｅｏｎｔ】ｉｅｆ Ｗ Ｗ．Ｔｈｅ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｅｃｏｎｏｍｙ，１９１９—１９３９：Ａｎ Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ Ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｏｘｆｏｒｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９５ １． ［２１ Ｓｉｍｏｎ Ｃ Ｐ，Ｂｌｕｍｅ Ｌ Ｅ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｆｏｒ Ｅｃｏｎｏｍｉｓｔｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｎｏｒｔｏｎ，１９９４． ［３】Ａｒｒｏｗ Ｋ Ｊ．Ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ Ｌｅｏｎｔｉｅｆ ｍｏｄｅｌｓ ｉｎ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ［Ｃ］／／ Ｃｏｗｌｅｓ Ｃｏｍｍｉｓｓｉｏｎ Ｍｏｎｏｇｒａｐｈ Ｎｏ．１ ３．Ａｃｔｉｖｉｔｙ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ａｎｄ Ａｌｌｏｃａｔｉｏｎ，Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ： Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ＼＆Ｓｏｎｓ，Ｉｎｃ，１９５１：１５５－１６４． ［４】李西宁．投入产出系统的完全需要系数矩阵的简化计算【Ｊ］．纯粹数学与应用数学，２００２，ｌ８（２）： ３２－３５． ［５】许健．投入产出模型中重要系数的确定方法研究［Ｊ］．统计研究，２００３，９：５３—５６． ［６】刘树林．数理经济学［Ｍ］．北京：科学出版社，２００８． ［７】成定平．扩大消费和出口的产业结构调整方向一基于动态投入产出模型的分析［Ｊ】．经济学家， ２０１ｌ＇５：３６—４１． ［８】曲晓燕，伍艳艳．保障房建设的投资诱发效应一基于投入产出模型的分析【Ｊ］．中国证券期货， ２０ｌ１。８：ｌｌ１—１１３． ［９】徐盈之，张全振．能源消耗与产业结构调整：基于投入产 模型的研究【Ｊ］．南京师大学报， ２０１２，ｌ：６６—７１． ［１０】Ａｕｂｉｎ Ｊ Ｐ．Ｏｐｔｉｍａ ａｎｄ Ｅｑｕｉｌｉｂｒｉａ：Ａｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．２ｎｄ ｅｄ，Ｂｅｒｌｉｎ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９９８． ［１１】徐仲，张凯院，陆全等．矩阵理论简明教程［Ｍ】．北京：科学出版社，２０１１． （下转第６４页１ 汕头大学学报（自然科学版） 第２７卷 Ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ Ｈｅｐａｔｏｍａ－Ｄｅｒｉｖｅｄ Ｇｒｏｗｔｈ Ｆａｃｔｏｒ ａｆｔｅｒ Ｓｐｉｎａｌ Ｃｏｒｄ Ｉｎｊｕｒｙ ｉｎ Ａｄｕｌｔ Ｒａｔｓ ＭＥＩ Ｇｕｏ—ｌｏｎｇ，ＷＡＮＧ Ｘｉｎ－ｊｉａ，ＬＩＵ Ｗｅｉ—ｄｏｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｊｏｉｎｔ ａｎｄ Ｓｐｉｎｅ，Ｓｅｃｏｎｄ Ａｆｆｉｌｉａｔｅｄ Ｈｏｓｐｉｔｌ，Ｍｅｄｉａｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｈａｎｔｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｔｏｕ ５１５０４１， Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＡＩＭ：Ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ Ｈｅｐａｔｏｍａ—ｄｅｒｉｖｅｄ ｇｒｏｗｔｈ ｆａｃｔｏｒ （ＨＤＧＦ） ａｆｔｅｒ ｓｐｉｎａｌ ｃｏｒｄ ｉｎｊｕｒｙ（ＳＣＩ）ｉｎ ａｄｕｌｔ ｒａｔｓ．ＭＥＴＨＯＤＳ：４０ ａｄｕｌｔ Ｓｐｒａｇｕｅ— Ｄａｗｌｅｙ ｒａｔｓ ｗｅｒｅ ｒａｎｄｏｍｌｙ ｄｉｖｉｄｅｄ ｉｎｔｏ ｔｗｏ ｇｒｏｕｐｓ．２０ ｒａｔｓ ｉｎ ｅｖｅｒｙ ｇｒｏｕｐ．Ａｄｕｌｔ ｒａｔｓ ｗｅｒｅ ｇｉｖｅｎ ｃｏｎｔｕｓｉｏｎ ＳＣＩ ａｔ ｔｈｅ Ｔ９－１０ ｖｅｒｔｅｂｒａｅ ｌｅｖｅｌ ｗｉｔｈ ａ ｗｅｉｇｈｔ—ｄｒｏｐ ｉｍｐａｃｔｏｒ ｆ１０ｇ ｗｅｉｇｈｔ ｄｒｏｐｐｅｄ ２５．０ｍｍ１ ｉｎ Ｂ ｇｒｏｕｐ．Ｏｔｈｅｒ ｒａｔｓ ｉｎ Ａ ｇｒｏｕｐ ｗｅｒｅ ａｓ ｃｏｎｔｒｏ１．ｒＩ１ｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ＨＤＧＦ ａｆｔｅｒ ＳＣ１ ｗａｓ ａｓｓｅｓｓｅｄ ｕｓｉｎｇ ｉｍｍｕｎｏｈｉｓｔｏｃｈｅｍｉｃａｌ ｓｔａｉｎｉｎｇ．ＨＤＧＦ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｉｎｄｅｘ（ＥＩ）ｉｎ ｎｅｕｒｏｎ ｗａｓ ａｎａｌｙｚｅｄ．ＲＥＳＵＬＴＳ：ＨＤＧＦ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｗａｓ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｉｎ ａｌｌ ｃａｓｅｓ。ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ＨＤＧＦ ｉｎ ｎｅｒｖｅ ｃｅｌｌｓ ｗａｓ ｍａｉｎｌｙ ｌｏｃａｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｎｕｃｌｅａｒ．７５．０％（１５／２０）ＨＤＧＦ ＥＩ ｌｅｖｅｌｓ ２ ｆｏｒ ｎｕｃｌｅｉ ｗａｓ ｉｎ Ｂ ｇｒｏｕｐ．ａｎｄ ｏｎｌｙ ２０．０％（４ ／２０）ＨＤＧＦ ＥＩ ２ ｗａｓ ｉｎ Ａ ｇｒｏｕｐ．Ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ＨＤＧＦ ｗａｓ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｌｙ ｈｉｇｈｅｒ ｉｎ ｔｈｅ ＳＣＩ ｇｒｏｕｐ ｔｈａｎ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｇｒｏｕｐ （Ｐ＜０．０５）．ＣＯＮＣＬＵＳＩＯＮ：Ｏｖｅｒ—ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ （ＨＤＧＦ）ａｆｔｅｒ ＳＣＩ ｓｕｇｇｅｓｔｓ ＨＤＧＦ ｍｉｇｈｔ ｂｅ ｉｎｖｏｌｖｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ａｎｄ ｒｅｐａｉｒ ｏｆ ＳＣＩ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｈｅｐａｔｏｍａ－ｄｅｒｉｖｅｄ ｇｒｏｗｔｈ ｆａｃｔｏｒ；ｓｐｉｎａｌ ｃｏｒｄ ｉｎｊｕｒｙ（ＳＣＩ）；ｉｍｍｕｎｈｉｓｔｏｃｈｅｍｉｃａｌ （上接第２６页） Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ Ｄｉｒｅｃｔ Ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ Ｃｏｅｆｉｃｉｅｎｔｓ Ｍａｔｒｉｘ ｆｏｆ Ｍａｔｅｒｉａｌ－Ｔｙｐｅ Ｉｎｐｕｔ－Ｏｕｔｐｕｔ Ｍｏｄｅｌ ＳＨＩ Ｙｏｎｇ－ｊｉｅ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｈａｎｔｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｔｏｕ ５１５０６３，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒ ｔｈｅ ｍａｔｅｒｉａｌ－ｔｙｐｅ Ｌｅｏｎｔｉｅｆ ｉｎｐｕｔ—ｏｕｔｐｕｔ ｍｏｄｅｌ，ａ ｎｅｗ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｎｄ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔ ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔｓ ｍａｔｉｘ ｔｒｏ ｂｅ ｐｒｏｄｕｃｔｉｖｅ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ，ｉ．ｅ．ｔｈｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｒａｄｉｕｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔ ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ ｃｏｅｆｉｃｉｅｎｔｓ ｍａｔｒｉｘ ｉＳ ｌｅｓｓ ｆｔｈａｎ １．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｂｙ ｓｏｍｅ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ ｏｆ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｒａｄｉｕｓ ｉｎ ｍａｔｒｉｘ ｔｈｅｏｒｙ，ｓｏｍｅ ｓｕｆｉｃｉｆｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔ ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔｓ ｍａｔｒｉｘ ｔｏ ｂｅ ｐｒｏｄｕｃｔｉｖｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｌｅｏｎｔｉｅｆ ｉｎｐｕｔ—ｏｕｔｐｕｔ ｐｒｏｄｕｃｔｉｖｅ ｍｏｄｅｌ；ｄｉｒｅｃｔ ｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ ｃｏｅｆｉｃｉｅｎｔｓ ｍａｔｒｆｉｘ；
