2022～2023学年高三年级模拟试卷
数
(满分：150分学
考试时间：120分钟)2023．1一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{0，a}，B＝{2a，b}，若A∩B＝{1}，则a＋b＝()A.1B.2C.3D.42.若1＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的一个根，则()A.p＝2，q＝2B.p＝2，q＝－2C.p＝－2，q＝2D.p＝－2，q＝－23.若(x＋y)6＝a0y6＋a1xy5＋a2x2y4＋…＋a6x6，则(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2的值为()A.0B.32C.D.1284.在音乐理论中，若音M的频率为m，音N的频率为n，则它们的音分差1200log2
m.n9256当音A与音B的频率比为时，音分差为r；当音C与音D的频率比为时，音分差为s，8243则()A.2r＋3s＝600B.3r＋2s＝600C.5r＋2s＝1200D.2r＋5s＝12005.在平面直角坐标系xOy中，直线l：x－2y＋2＝0与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两)D.16→→点，则OA·OB的值为(A.4B.8C.12→π→6.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6，8)，将OA绕点O顺时针旋转后得OA′，4则A′的纵坐标为(A.2B.)3C.2D.5π)＝0，f(π)＝－1，f(x)的最小正周47.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，若f(期T>2π，则φ的值为(A.π6B.π3)C.2π3D.5π6－
－
8.若实数a，b，c满足6a＝12ac＝3，3bab＝5aab，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知一组数据为4，1，2，5，5，3，3，2，3，2，则()A.标准差为8572B.众数为2和3D.平均数为3C.第70分位数为10.用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是()A.锐角三角形B.直角梯形C.正五边形D.边长不全相等的六边形11.已知定义域为R的函数f(x)＝x4－x2＋ax＋1，则()A.存在唯一的实数a，使函数f(x)的图象是轴对称图形B.存在实数a，使函数f(x)为单调函数C.对任意实数a，函数f(x)都存在最小值D.对任意实数a，函数f(x)都存在两条过原点的切线12.过圆O：x2＋y2＝8内一点P(1，3)作两条互相垂直的弦AB，CD，得到四边形ADBC，则()A.AB的最小值为4B.当AB＝25时，CD＝27C.四边形ADBC面积的最大值为16→→D.AC·BD为定值三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．x2y2
13.若椭圆C2的焦点在y轴上，且与椭圆C1：＋＝1的离心率相同，则椭圆C2的42一个标准方程为________．14.某公司决定从甲、乙两名员工中选一人去完成一项任务，两人被选中的概率都是0.5.根据以往经验，若选员工甲，按时完成任务的概率为0.8；若选员工乙，按时完成任务的概率为09.则选派一名员工，任务被按时完成的概率为________．15.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝10S2，则S6的值为________．S2
16.一名学生参加学校社团活动，利用3D技术打印一个几何模型．该模型由一个几何体M及其外接球O组成，几何体M由一个内角都是120°的六边形ABCDEF绕边BC旋转一周得到，且满足AB＝AF＝DC＝DE，BC＝EF，则球O与几何体M的体积之比为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知(1)求证：b2＝ac；b22(2)若22＝，求cosB的值．5a＋csinAsinC＋＝2cosB＋1.sinCsinA18.(本小题满分12分)已知数列{an}满足(1)求证：数列{3an2an＋1211＝，＋＝，a＞0.a1a2a3an＋1a2
1}是等差数列；an
(2)求数列{anan＋1}的前n项和Sn.19.(本小题满分12分)甲、乙两个学校进行球类运动比赛，比赛共设足球、篮球、排球三个项目，每个项目胜方得100分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.6，0.5，各项目比赛互不影响．(1)求乙校获得冠军的概率；(2)用X表示甲校的总得分，求X的分布列与数学期望．20.(本小题满分12分)如图，在三棱台ABCDEF中，已知平面ABED⊥平面BCFE，BA⊥BC，BC＝3，BE＝1DE＝DA＝AB＝1.2(1)求证：直线AE⊥平面BCFE；(2)求平面CDF与平面AEF所成角的正弦值．21.(本小题满分12分)x2y2
在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2，0)的直线l与双曲线C：2－2＝1的左支交ab于A，B两点，直线OA与双曲线C的右支交于点D.已知双曲线C的离心率为2，当直线l与x轴垂直时，BD＝2AB.(1)求双曲线C的标准方程；(2)求证：直线BD与圆O：x2＋y2＝2相切．22.(本小题满分12分)1已知函数f(x)＝ex－ax3(a≠0)，记fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N),f0(x)＝f(x).6(1)当x>0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的最大值；(2)当a＝1时，设gn(x)＝错误!i(x)，对任意的n≥3，当x＝tn时，y＝gn(x)取得最小值，求证：gn(tn)>0且所有点(tn，gn(tn))在一条定直线上；(3)若函数f0(x)，f1(x)，f2(x)都存在极小值，求实数a的取值范围．2022～2023学年高三年级模拟试卷(泰州)
数学参及评分标准
1.B2.C3.A4.C5.C6.A7.D8.D15.919.BCD16.10.BC11.ACD12.ABDy2x2
13.形如＋＝1(t＞0)都行2tt17.(1)证明：由正弦定理知14.0.8556781sinAsinCac＋＝＋，sinCsinAcaa2＋c2－b2
由余弦定理知cosB＝，(3分)2aca2＋c2－b2ac所以＋＝2·＋1，ca2ac化简得b2＝ac.(5分)b2a2＋c2252(2)解：因为22＝，b＝ac，所以＝.(7分)52a＋caca2＋c253由(1)知＝2cosB＋1，所以2cosB＋1＝，即cosB＝.(10分)24ac18.(1)证明：因为数列{an}满足令n＝1，得令n＝2，得又因为所以3an2an＋1＝，a2＞0，an＋1a2
2a1＋13a1＝，所以a1＝1，(2分)a2a22a2＋13a2＝.a3a2
2111＋＝，a2＞0，所以a2＝，(4分)a1a2a33an12an＋11＝2an＋1，所以＝＝2＋，anan＋1an＋1an
11－＝2，所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列．(7分)an
1＝1＋2(n－1)＝2n－1，an
故1an＋1
(2)解：由(1)知，所以anan＋1＝Sn＝1111＝(－)，(9分)22n－1（2n－1）（2n＋1）2n＋1111n11111(1－＋－…＋－)＝(1－)＝，233522n－12n＋12n＋12n＋1n即数列{anan＋1}的前n项和Sn＝.(12分)2n＋119.解：(1)甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.6，0.5，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：第一场比赛第二场比赛第三场比赛甲学校获胜概率乙学校获胜概率0.40.60.60.40.50.5乙校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，若乙校3场全胜，概率为P1＝0.6×0.4×0.5＝0.12，若乙校获胜2场败1场，概率为P2＝0.6×0.4×0.5＋0.6×0.6×0.5＋0.4×0.4×0.5＝0.38，所以乙校获得冠军的概率为P＝P1＋P2＝0.5.(5分)(2)甲校的总得分X的可能取值为0，100，200，300，其概率分别为P(X＝0)＝0.6×0.4×0.5＝0.12，P(X＝100)＝0.4×0.4×0.5＋0.6×0.6×0.5＋0.6×0.4×0.5＝0.38，P(X＝200)＝0.4×0.6×0.5＋0.4×0.4×0.5＋0.6×0.6×0.5＝0.38，P(X＝300)＝0.4×0.6×0.5＝0.12，则X的分布列为XP00.121000.382000.383000.12X的数学期望E(X)＝0×0.12＋100×0.38＋200×0.38＋300×0.12＝150.(12分)20.(1)证明：在三棱台ABCDEF中，DE∥AB.因为BE＝AD，所以四边形ABED为等腰梯形．因为BE＝DE＝1，AB＝2，所以可得∠ABE＝π.3在△ABE中，由余弦定理可得AE＝3，所以BE2＋AE2＝AB2，所以AE⊥BE.(3分)又因为平面ABED⊥平面BCFE，平面ABED∩平面BCFE＝BE，AE⊂平面ABED，所以直线AE⊥平面BCFE.(5分)(2)由(1)知AE⊥平面BCFE，因为BC⊂平面BCFE，所以AE⊥BC.又BC⊥BA，AE，BA⊂平面ABED，所以BC⊥平面ABED.又BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABED，在平面ABED内过B作BH⊥BA，则BH⊥平面ABC.→→→BA，BH}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，以{BC，1333由题意可得A(0，2，0)，E(0，，)，B(0，0，0)，C(3，0，0)，D(0，，)，2222→1→3313因为EF＝BC＝(，0，0)，F(，，)，22222→3→333所以DF＝(，－1，0)，AF＝(，－，)，2222设平面AEF的法向量n＝(x0，y0，z0)，→333n·AF＝x0－y0＋z0＝0，222则→3n·EF＝x0＝0，2x0＝0，3x0－3y0＋3z0＝0，取y0＝1，z0＝3，则n＝(0，1，3)，(8分)则同理可求平面CDF的一个法向量m＝(2，3，3)，(10分)设平面CDF与平面AEF所成的角为θ，由|cos〈m，n〉|＝|m·n|37＝，则sinθ＝，|m|·|n|447.(12分)44－a2.ba4－a2)，所以平面CDF与平面AEF所成的角的正弦值为21.(1)解：当直线l与x轴垂直时，在x2y24y2b－＝1中，令x＝－2得－＝1，所以y＝±a2b2a2b2aba2bab4－a2)，B(－2，a4－a2.不妨令A(－2，－4－a2)，则D(2，所以BD＝4，AB＝2b因为BD＝2AB，所以4＝2×a所以双曲线C的标准方程为a2＋b2
4－a，又＝2，所以a2＝b2＝2，a2
x2y2
－＝1.(4分)22(2)证明：显然直线BD的斜率存在，设为y＝kx＋m，设D(x1，y1)，B(x2，y2)，A(－x1，－y1)，y＝kx＋m，联立得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0，x2－y2＝2，m2＋22km则x1＋x2＝－2，x1x2＝，(6分)k－1k2－1所以|x1－x2|＝x1－x2＝（x1＋x2）2－4x1x2
m2＋22km22（2）－4·m2－2k2＋2.(8分)＝＝2
2k－1|k－1|k－1－y1kx1＋mkx2＋my2因为直线l经过点P(－2，0)，所以＝，即＝，x2＋2－x1＋2x1－2x2＋2－2km2m即m(x1－x2)＝2k(x1＋x2)＋4m，则2m2－2k2＋2＝2k·＋4m，|k－1|k2－1m2－2k2＋2－2显然m≠0，化简得＝，|k2－1|k2－1所以m2＝2k2＋2，(10分)2k2＋2|m|所以O到直线BD的距离d＝＝＝2，1＋k21＋k2
所以直线BD与圆O：x2＋y2＝2相切．(12分)22.解：(1)因为x＞0，所以f(x)≥0即令h(x)＝1ex
a≤3.6xx－3xex
(x＞0)，则h′(x)＝e，x3x4
当0＜x＜3时，h′(x)＜0，h(x)在(0，3)上单调递减；当x＞3时，h′(x)＞0，h(x)在(3，＋∞)上单调递增，e31e32e3
所以h(x)min＝h(3)＝，所以a≤，即a≤，2762792e3
所以实数a的最大值是.(3分)9(2)当a＝1时，f0(x)＝ex－当n≥4时，fn(x)＝ex；当n≥3时，gn(x)＝∑fi(x)＝(n－1)ex－x－1，所以g′n(x)＝(n－1)ex－1.i2
＝
131x，f1(x)＝ex－x2，f2(x)＝ex－x，f3(x)＝ex－1，62n
令g′n(x)＝0，得x＝ln当x∈(－∞，ln当x∈(ln1，n－11)时，g′n(x)＜0，gn(x)单调递减；n－11，＋∞)时，g′n(x)＞0，gn(x)单调递增，n－111，且y＝gn(x)的最小值为gn(tn)＝gn(ln)＝ln(n－1).n－1n－1所以tn＝ln因为n≥3，故gn(tn)＞0，此时点(tn，gn(tn))对应的坐标为(－ln(n－1)，ln(n－1))，所以所有点(tn，gn(tn))都在定直线y＝－x上．(6分)(3)易知f0(x)＝ex－131ax，f1(x)＝ex－ax2，f2(x)＝ex－ax，f3(x)＝ex－a，62若a≤0，f3(x)＝ex－a＞0，f2(x)在R上单调递增，无极值，所以a＞0，(7分)1(或f1(x)＝ex－ax2＞0，f0(x)在R上单调递增，无极值，所以必有a＞0)2此时，当x＜lna时，f2(x)单调递减；当x＞lna时，f2(x)单调递增，所以f2(x)存在极小值，且f2(x)min＝f2(lna)＝a－alna.当0＜a≤e时，有a－alna≥0，即f2(x)≥0，所以f1(x)＝ex－12
ax在R上单调递增，无极值，所以必有a＞e，(8分)2此时f2(lna)＝a(1－lna)＜0，f2(a)＝ea－a2＞0，f2(0)＝1＞0，其中0＜lna＜a，所以存在t1∈(0，lna)使得f2(t1)＝0，存在t2∈(lna，a)使得f2(t2)＝0，所以当t1＜x＜t2时，f2(x)＜0，f1(x)单调递减；当x＞t2时，f2(x)＞0，f1(x)单调递增，因此f1(x)存在极小值，(10分)下证当a＞e，f0(x)一定存在极小值(事实上，只要a＞0即可).当x＜0时，f2(x)＝ex－ax＞0，则f1(x)在(－∞，0)上单调递增，且f1(－1)＝e－1－1a＜0，f1(0)＝1＞0，2所以存在t3∈(－1，0)使得f1(t3)＝0，所以当x＜t3时，f1(x)＜0，f0(x)单调递减；当t3＜x＜0时，f1(x)＜0，f0(x)单调递增；所以f0(x)存在极小值．综上，实数a的取值范围是(e，＋∞).(12分)
