2020届浙江省杭州市上学期高三期末教学质量检测(一模)数学试题(解析版)

数学试题

一、单选题

1．设集合Ax|x2，Bx|x1x30，则AIB（ ） A．x|x1

【答案】B

【解析】求出集合B，然后可求AIB. 【详解】

B．x|2x3 D．x|x2,x1

C．x|1x3Bx|1x3，AIBx|2x3，

故选：B. 【点睛】

本题考查集合交集的运算，是基础题.

x22．双曲线y21的离心率为（ ）

4A．5 【答案】C

B．3 C．5 2D．

3 2x2c25 222222【解析】双曲线y1中，a4,b1,cab5,e.24a2本题选择C选项.

3．已知a,b为非零向量，则“a•b0”是“a与b夹角为锐角”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】B

【解析】根据向量数量积的定义式可知，若ab0，则a与b夹角为锐角或零角，若

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

rrrrrrrrrrrrrr“”“与夹角为锐角，则一定有，所以是aba与b夹角为锐角”的必要不ab0ab0充分条件，故选B.

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xy0,4．若x,y满足{x1,则下列不等式恒成立的是（ ）

xy0,A．y1 【答案】D

B．x2

C．x2y0

D．2xy10

【解析】试题分析：作出不等式所表示的平面区域，

B错；显然选项A，由线性规划易得

在B处取得最小，故

【考点】线性规划

5．设正实数x，y满足exeyexA．1 【答案】B

【解析】由exeyex【详解】

B．2

的取值范围为，故

不成立；

y，则当xy取得最小值时，x( )

C．3

D．4

y可得xyxy，再利用基本不等式求最值，整理计算即可.

exeyexxyxy2xy，当且仅当xy时，等号成立，

yx22xx2.

故选：B. 【点睛】

本题考查基本不等式求最小值，注意等号的成立条件，是基础题. 6．已知随机变量的取值为ii0,1,2.若P01，E1，则( ) 5A．P1D B．P1D C．P1D

【答案】C

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D．P11D 5【解析】设P1x，根据fx，E1列方程求出x，进而求出D，即可比较大小. 【详解】 设P1x， 则P21844x，则E0x1x2x1，

555531，P2， 551312222则D011121，

5555解得P1故P1D， 故选：C. 【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

7．下列不可能是函数fxx．．．

a2x2xaZ的图象的是( )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对a取特殊值，代入分析函数f(x)的定义域、奇偶性以及单调性，利用排除法即可得答案. 【详解】 当a0时，

fx2x2xx0，偶函数，在0,上单调递增，图像如选项A所示；

当a1时，

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2x2xxln22x2x2x2xfxx0，奇函数，f'xx0，在2xx0,上，当x0时，2x2xxln20，2x2x，此时f'x0，

当x时，22xxxln22x2x2xxln22x，此时f'x0，故

fx先减后增，图像如选项B所示；

当a2时，

2x2xxln22x2x2x2xfxx0，为偶函数，f'xx0，23xx同样fx在0,上先减后增，图像如选项D所示， 故选：C. 【点睛】

本题考查函数图象分析，涉及函数的奇偶性与单调性的分析，是中档题. 8．若函数yfx，ygx定义域为R，且都不恒为零，则( ) A．若yfgx为周期函数，则ygx为周期函数 B．若yfgx为偶函数，则ygx为偶函数

C．若yfx，ygx均为单调递增函数，则yfxgx为单调递增函数 D．若yfx，ygx均为奇函数，则yfgx为奇函数 【答案】D

【解析】举例说明A，B，C错误；利用函数奇偶性的定义证明D正确. 【详解】

选项A:fxsinx，gx2x，yfgxsin2x为周期函数，gx2x不是周期函数，故错误；

选项B:fxcosx，gx2x，yfgxcos2x为偶函数，gx2x不是偶函数，故错误；

选项C:fxx，gx2x，yfxgx2x不是单调函数，故错误；

2选项D:fgxfgxfgxfgx，所以yfgx为奇函数，故正确. 故选：D

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【点睛】

本题考查复合函数的单调性，奇偶性，周期性，通过代入特殊函数，可很快排除错误选项，是基础题.

x2y29．已知椭圆221ab0的左右焦点分别为F1，F2，抛物线

abuuuuruuuur12y2pxp0的焦点为F2，设两曲线的一个交点为P，若PF2F1F2P，则

62椭圆的离心率为( ) A．

1 2B．

2 2C．3 4D．3 2【答案】A

uuuuruuuur122【解析】设Px0,y0，由PF2F1F2p，p2c，可得x0c，由椭圆、抛物

63线焦半径公式可得x0caex0，整理可得答案. 【详解】

2由题意可知p2c，则抛物线的方程为y4cx，

设不妨设Px0,y0在第一象限，且有数量积的投影可知

uuuuruuuur122PF2F1F22ccx0p2c2，则x0c，

633由椭圆的焦半径公式可知PF2aex0， 由抛物线的定义PF2x0c，

ac， 1e1e2ac2e， c，即所以x01e31e31解得e.

2则x0caex0x0故选：A. 【点睛】

本题考查了椭圆、抛物线的性质，运用焦半径公式计算使得解题过程简化，属于中档题.

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10．已知非常数列an满足an2an1annN*，若0，则( ) A．存在，，对任意a1，a2，都有an为等比数列 B．存在，，对任意a1，a2，都有an为等差数列 C．存在a1，a2，对任意，，都有an为等差数列 D．存在a1，a2，对任意，，都有an为等比数列 【答案】B

【解析】本题先将递推式进行变形，然后令t，根据题意有常数t0，且t1，

将递推式通过换元法简化为an2tan1(1t)an，两边同时减去an1，可得

an2an1(t1)an1an，此时逐步递推可得an1an(t1)n1a2a1.根

据题意有a2a10，则当t2，20时，可得到数列an是一个等差数列，由此可得正确选项. 【详解】

解：由题意，得an2an1anan1an.

1t，

令t，则

Q,为非零常数且0，

t,1t均为非零常数，

∴常数t0，且t1. 故an2tan1(1t)an. 两边同时减去an1，可得

an2an1tan1an1(1t)an(t1)an1an，

∵常数t0，且t1，

t0，且t10.

an1an(t1)anan1(t1)2an1an2)(t1)n1a2a1，

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∵数列an是非常数数列，

a2a10，

则当t11，即t2，即

2，即20时，

an1ananan1an1an2a2a1.

此时数列an很明显是一个等差数列.

∴存在,，只要满足,为非零，且20时，对任意a1,a2，都有数列an为等差数列. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查递推式的基本知识，考查了等差数列的基本性质，换元法的应用，逻辑思维能力和数算能力，是一道难度较大的题目.

二、填空题

11．设复数z满足1iz2i(i为虚数单位)，则z______，z______. 【答案】1i

2

【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解. 【详解】 由题意得z2i1i2i1i，z2， 1i1i1i故答案为：1i，2. 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

a12．已知二项式xa0的展开式中含x2的项的系数为15，则a______，展x开式中各项系数和等于______. 【答案】1

【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出a的值，再令x＝1，可得展开式中

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6各项系数和. 【详解】

由题意得Tr1Cxr66rarr62rCax， 6xr222取r=2，则T3C6ax， 22则C6a15，又a0，

解得a1；

1令x1，则各项系数和为1. 1故答案为：1；. 【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

BAC的平分线与BC边交于点D，13．在ABC中，则sinC2sinB，

6BD______;CD若ADAC1，则BC______. 【答案】2

32 2【解析】第一空，根据三角形角平分线定理和正弦定理，即可求出第二空，由余弦定理列出方程，即可求得BD、CD和BC的值. 【详解】

由题意sinC2sinB，得到c2b，由角平分线定理，得到因为ADAC1，则AB2， 令BD2t，则CDt， 由cosADBcosADC0，

BD的值； CDBDABc2， DCACb4t2141t21得到：0，

22t121t解得t2， 2则BC3t32， 2第 8 页 共 18 页

故答案为：2；

32. 2

【点睛】

本题考查了角平分线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是中档题.

1x2x014．已知函数fx，则ff2019______;若关于x的方程

cosxx0fxa0在,0内有唯一实根，则实数a的取值范围是______.

【答案】0 1,

211x2x0【解析】推导出ff20190，作出函数fx的图象，结合图形，

cosxx0能求出实数a的取值范围. 【详解】

ff2019fcos2019f10， fx图象如图，

设fx与x轴从左到右的两个交点分别为A1,0､B1,0， 2fxa与fx的图象是平移关系，

由图可知，a1,，

21第 9 页 共 18 页

即实数a的取值范围是1,.

21故答案为：0；1,.

21【点睛】

本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 15．在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有______种不同的志愿者分配方案.(用数字作答) 【答案】21

【解析】由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得． 【详解】

解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参见A项目，B项目有3种方法，

2若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目，A，B项目，有A36种方法， 2若甲参加，乙不参加，则乙只能参加A项目，B，C项目，有A36种方法， 3若甲不参加，乙不参加，有A36种方法，

根据分类计数原理，共有366621种． 故答案为：21. 【点睛】

本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题．

16．已知函数fxx9x，gx3xaaR，若方程fxgx有三个

32不同实数解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则a______. 【答案】11

32【解析】问题等价为函数Fxx3x9xa有三个不同零点，设x1x2d，

x3x2d，则Fxxx2dxx2xx2d，展开，利用系数相等

列方程组求a的值. 【详解】

令Fxfxgxx3x9xa，则Fx0有三个不同的实数解成等差

32数列即x1x2d，x3x2d，

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322232Fxxxdxxxxdx3xx3xdxxxd 22222223x2322即3x2d9，得：a11. x3xd2a22故答案为：11. 【点睛】

本题考查方程的根与函数的零点的关系，根据根与系数的关系设

Fxxx1xx2xx3是关键，考查了学生计算能力，属于中档题.

17．在平面凸四边形ABCD中，AB2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且

uuuuruuuruuuruuuruuur33MN，若MNADBC，则ABCD______.

22【答案】2

【解析】取BD的中点O，连接OM，ON，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值. 【详解】

解：取BD的中点O，连接OM，ON，

uuuuruuuuruuur1uuuruuur可得MNMOON(ABDC)，

2uuuur21uuur2uuur2uuuruuuruuur2uuuruuur19ABDC2ABDC4DC2ABDC， 平方可得MN444uuuruuur51uuur2uuuuruuuruuur3即有ABDCDC，MN(ADBC)，

222ruuuruuuruuuruuur1uuu即有(ABDC)(ABBDBC)

2ruuuruuuruuurr2uuur2uuur21uuu1uuu13(ABDC)(ABCD)ABCD4CD， 2222uuur2解得CD1，

uuuruuur1uuur2515所以ABCDDC2，

2222故答案为：−2. 【点睛】

本题考查向量数量积的性质和向量的中点表示，化简整理的运算能力，属于中档题.

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三、解答题

18．已知函数fxsinxcosx22xR. 3(1)求fx的最小正周期;

fx(2)求在区间,上的值域.

3413【答案】(1);(2),

24【解析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式f(x)根据正弦函数的周期性，得出结论. （2）由x【详解】

1sin2x，再265,，得2x,，进而利用正弦函数的性质可得最值. 346633122(1)Qfxsinxcosxsin2x sinxcosx322331sin2xsin2xsinxcosxcos2x

42413cos2xsin2x2sinxcosx 44231sin2xcos2x 441sin2x. 26所以T2；

(2)因为x当2x当2x5,，所以2x,.

6633462时，即x6时，fmin1， 263，即x

4

时，fmax3. 4第 12 页 共 18 页

13,fx所以在区间上的值域为,. 3424【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.

19．已知函数fxxkx12.

2(1)当k1时，求函数fx的单调递增区间; (2)若k2，试判断方程fx1的根的个数. 【答案】(1),;(2)见解析

【解析】（1）写出k1时的函数解析式，分别讨论各段的单调增区间即可得fx的单调增区间；

（2）解出各段上函数的解析式，再结合k的取值范围得到方程根的个数. 【详解】

12x2x3,x1(1)k1时，fxxx122，

xx1,x12∵yx2x3在1,上单调递增，yx2x1在,1上单调递增，

12∴fx的单调递增区间为,； (2)显然，x1为方程fx1的根，另外

当x1时，由fx1得x2kxk10，即x1x1k0，∴x1k，

当x1时，由fx1得x2kxk10，即x1x1k0，∴xk1，

121k1故当k2时，，方程有三个不等根，

k11当k2时，【点睛】

本题考查函数单调区间的求法，考查方程根的个数，分类讨论是关键，属于中档题.

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1k1，方程有两个不等根.

k131ruuur2uuu20．如图，在ABC中，BAC，AD3DB，P为CD上一点，且满足

3uuuruuur1uuurAPmACAB，若ABC的面积为23.

2

(1)求m的值;

uuur(2)求AP的最小值.

【答案】(1)

14;(2)

33【解析】（1）建立如图所示直角坐标系，设ACb，ABc，求出CD，PD的坐标，

uuuruuuruuuruuur可知由C，P，D三点共线，即CD//PD，列方程即可求出m的值；

（2）由(1)得AP，由面积可得bc8，利用基本不等式可得最小值. 【详解】

(1)建立如图所示直角坐标系，设ACb，ABc，

uuur2b3bC则Bc,0，2,2， 由AD3DB得Duuuruuur3c,0， 4uuur3cb3b故CD42,2，

uuuruuur1uuurcbm3bm,由APmACAB得P， 2222uuurcbm3bm所以PD42,2，

uuuruuur因为C，P，D三点共线，所以CD//PD，

3bm3bcbm3cb所以0， 4222421

解得m.

3

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cb3bP(2)由(1)得,266， 因为SABC123bcsinbc23， 234所以bc8，

uuur2cb23bb2c24b2c244

2所以AP，26694394332uuur所以APmin443，当且仅当b23，c时取得等号. 33【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，考查三角形面积公式，属于中档题.

21．设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，若a2是a1与a4的等比中项，a612，a1b1a2b21. (1)求an，Sn与Tn; (2)若cnSnTn，求证:c1c2cnnn2. 21;(2)见解析 2n【答案】(1)an2n，Snnn1，Tn12【解析】（1）由题意得，a2a1a4，代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差，

则等差数列的通项公式与前n项和可求，再将a1,a2代入a1b1a2b21，利用等比数列通项公式求出b1，q，进而可得Tn；

11（2）由cnnn11n，结合011恒成立，即可得到

22cnn(n1)n(n1)11n，结合等差数列的前n项和公式即可证明42nc1c2cnnn2.

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【详解】 (1)根据定义求解.

a1d2a1a13da12由题易知a15d12解得，

d2d0故ana1n1d2n，Sna1annn2n1，

a1b1a2b212b14b1q1解得b111，q， 22nb1q11n1则bnb1qn，Tn1n，nN.

21q211(2)由题可知cnnn11n，又011，

2221111则n1nn，

2422n1n(n1)1(n2)nc1c2cn123Lnnn，

2222即c1c2Lcn【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中档题.

22．设函数fxeax，aR.

xnn2成立. 2(1)若fx有两个零点，求实数a的取值范围;

(2)若对任意的x0,均有2fx3xa，求实数a的取值范围.

22【答案】(1),e;(2)ln33,5

exex【解析】（1）fx的零点即为方程a的根，设gx，利用导数研究gxxx的单调性，画出gx的图像，通过图像可得结果；

（2）表示出Fx2fx3xa，求出其导数，构造函数，再利用导数判断出

22Fx单调区间，进而求出a的取值范围

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【详解】

ex(1)fx的零点即为方程a的根，

xexx1ex'设gx，则gx， 2xx则当x1时，gx0，当x0或0x1时，gx0.

''因此gx在,0上单调递减，在0,1上单调递减，在1,上单调递增， gx0，limgx，limgx，limgx， 且xlimxx0x0从而gx的大致草图如下:

ex由此要使得方程a有两个不同实根，则ag1e，即ae.

x综合上述，若fx有两个零点，则实数a的取值范围为,e；

(2)设Fx2fx3xa2ex2axa3x0，下面我们通过讨

22x22论Fx的单调性求解Fx的最小值Fxmin，并保证Fxmin0. 由于Fx2e2x2a，F'x''x2ex20，

则Fx在0,上单调递增，

'从而FxF0,，即Fx22a,.

'''①当22a0，即a1时，Fx0，故Fx在0,上单调递增，从而

'FxminF05a20，从而1a5. '②当22a0，即a1时，则Fx在0,上存在唯一零点x0，则当0xx0时，F'x0;当xx0时，F'x0，

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从而FxminFx02e0x02ax0a3，考虑到2e02x02a0，

x22x22从而FxminFx02e0x02ax0a32x02ax02ax0a3

x222x02a1x0a3a1x0a3x0a10，

即a1x0a3.

由于x0是单调递增函数Fx2e2x2a在0,上的唯一零点，

'x要使得a1x0a3a1，则只需0x0a3， 故只需保证Fa32e'a32a32a0，即ea33，

故实数ln33a1.

综合上述，满足条件的实数a的取值范围为ln33,5.

【点睛】

本题考查函数导数求单调区间，考查参数的取值范围，综合性较强，属于难题.

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