二次函数的图象与各项系数之间的关系

二次函数的图象与各项系数之间的关系

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一、知识基础 1. 二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上， ⑵ 当a0时，抛物线开口向下，

a的值越大，函数图象越靠近y轴，开口越小，反之a的值越小，函数图象越远离y

轴，开口越大；一次函数图象有类似特点。

总结：a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a0的前提下，

当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a总结：在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定：对称轴x概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c

b在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，2a ⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

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⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结：c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

4．当x=1时，可以求出a+b+c的值； 若x=1时，y>0，则a+b+c>0; 若x=1时，y<0，则a+b+c<0; 若x=1时，y=0，则a+b+c=0;

当x=-1时，可以求出a-b+c的值； 若x=-1时，y>0，则a-b+c>0; 若x=-1时，y<0，则a-b+c<0; 若x=-1时，y=0，则a-b+c=0; 思考：x=2时，可以通过函数图象得出哪些值 ？

5. 根的别式b-4ac，可以用来判断抛物线与x轴的交点个数，当b-4ac>0时，方程yax2bxc=0有两个根，也就是说y=0时，函数在x轴上可以找到2个对应的自变量值，

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即断抛物线与x轴有2个交点；同理b-4ac=0，二次函数图象与x轴有一个交点；b-4ac <0时，抛物线与x轴没有交点。二、精典练习

1．（烟台市中考题）如图是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（ ）

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A． ①② B． ②③ C． ①②④ D． ②③④

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2、如图，二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，

2

0）．下列结论：①ab＜0，②b＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（ ）

A． 5个

B． 4个

C． 3个

D． 2个

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