1．(交汇新) 如图，ABCDEF－A1B1C1D1E1F1是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)，过FB作圆柱的截面交下底面于C1E1，已知FC1＝13.
(1)证明：四边形BFE1C1是平行四边形； (2)证明：FB⊥CB1；
(3)求三棱锥A－A1BF的体积．
[历 炼]
1．解析：(1)证明：因为圆柱的上、下底面平行，且FB，C1E1是截面BFE1C1与圆柱上、下底面的交线， 所以FB∥C1E1.
依题意得，正六边形ABCDEF是圆内接正六边形，所以正六边形的边长等于圆的半径， 即AB＝AF＝1. 在△ABF中，
由正六边形的性质可知，∠BAF＝120°，
1222
所以BF＝AB＋AF－2AB·AFcos 120°＝2－2×－＝3，即BF＝3.
2
同理可得C1E1＝3，所以FB＝C1E1， 故四边形BFE1C1是平行四边形．
(2)证明：连接FC，则FC是圆柱上底面圆的直径，故∠CBF＝90°，即BF⊥BC. 又∵ B1B⊥平面ABCDEF，BF⊂平面ABCDEF， ∴ BF⊥B1B.
∵ B1B∩BC＝B，∴ BF⊥平面B1BCC1. 又∵ B1C⊂平面B1BCC1，∴ FB⊥CB1.
(3)解：连接F1C1，则四边形CFF1C1是矩形，且FC＝F1C1＝2，FF1⊥F1C1. 在Rt△FF1C1中， FF1＝FC1－F1C1＝3， ∴ 三棱锥A1－ABF的高为3. 1
S△ABF＝AB·AFsin∠BAF
2133＝×1×1×＝， 224∴ 三棱锥A1－ABF的体积 13VA1－ABF＝S△ABF·FF1＝. 34
又三棱锥A1－ABF的体积等于三棱锥A－A1BF的体积， ∴ 三棱锥A－A1BF的体积等于
2．(角度新)如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.
3
. 4
2
2
(1)求证：AF⊥平面CBF；
(2)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
(3)设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为VF－ABCD，VF－CBE，求VF－ABCD∶VF－CBE.
ππ
3．(背景新)如图甲，⊙O的直径AB＝2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CAB＝，∠DAB＝.沿直
43径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙)，F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：
图甲
图乙
(1)求三棱锥C－BOD的体积； (2)求证：CB⊥DE；
(3)在上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．
2.解析：(1)证明：∵ 平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB， ∴ CB⊥平面ABEF.
∵ AF⊂平面ABEF，∴ AF⊥CB. 又∵ AB为圆O的直径，∴ AF⊥BF. ∵ CB∩BF＝B，∴ AF⊥平面CBF.
(2)证明：设DF的中点为N，连接AN，MN， 1
则MN綊CD. 2
1
又AO綊CD，则MN綊AO，
2所以四边形MNAO为平行四边形， ∴ OM∥AN.
又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF， ∴ OM∥平面DAF.
(3)解：过点F作FG⊥AB于G. ∵ 平面ABCD⊥平面ABEF， ∴ FG⊥平面ABCD， 12
∴ VF－ABCD＝SABCD·FG＝FG. 33∵ CB⊥平面ABEF， 1
∴ VF－CBE＝VC－BFE＝S△BFE·CB
3111
＝·EF·FG·CB＝FG， 326∴ VF－ABCD∶VF－CBE＝4∶1.
3．命题立意：本题主要考查空间点、线、面的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力． 解析：(1)解：∵ C为圆周上一点，且AB为直径， π∴ ∠C＝. 2∵ ∠CAB＝
π
，∴ AC＝BC. 4
∵ O为AB的中点，∴ CO⊥AB. ∵ AB＝2，∴ CO＝1.
∵ 两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直，且其交线为AB， ∴ CO⊥平面ABD，∴ CO⊥平面BOD. ∴ CO就是点C到平面BOD的距离． 1113
又∵ S△BOD＝S△ABD＝××1×3＝，
2224
1133
∴ VC－BOD＝S△BOD·CO＝××1＝.
33412(2)证明：在△AOD中，∵ ∠OAD＝∴ △AOD为正三角形．
又∵ E为OA的中点，∴ DE⊥AO.
∵ 两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB， ∴ DE⊥平面ABC. ∴ CB⊥DE.
π
，OA＝OD， 3
(3)存在满足题意的点G，G为BD的中点．证明如下： 连接OG，OF，FG，易知OG⊥BD. ∵ AB为⊙O的直径， ∴ AD⊥BD， ∴ OG∥AD.
∵ OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD， ∴ OG∥平面ACD.
在△ABC中，∵ O，F分别为AB，BC的中点， ∴ OF∥AC， ∴ OF∥平面ACD. ∵ OG∩OF＝O， ∴ 平面OFG∥平面ACD.
又FG⊂平面OFG，∴ FG∥平面ACD.
