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专题能力训练14 空间中的平行与垂直
一、能力突破训练
1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是( )
A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的内心 C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心
3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列命题:①若α⊥β,m∥α,则m⊥β;②若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β;③若m⊥β,m∥α,则α⊥β;④若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A.①④ B.②③ C.②④ D.①③
4.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为 .
6.下列命题正确的是 .(填上你认为正确的所有命题的序号) ①空间中三个平面α,β,γ,若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;
②若a,b,c为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与a,b,c都相交;
③若球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的表面积为a2; ④在三棱锥P-ABC中,若PA⊥BC,PB⊥AC,则PC⊥AB.
7.
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (1)证明MN∥平面PAB; (2)求四面体N-BCM的体积. 8.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
9.(2018天津,文17)
如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2,∠BAD=90°. (1)求证:AD⊥BC;
(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值; (3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值. 10.
(2018北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点. (1)求证:PE⊥BC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD; (3)求证:EF∥平面PCD.
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二、思维提升训练
11.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.
图①
图②
(1)证明:CD⊥平面A1OC;
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36
,求a的值.
12.如图,AB是圆O的直径,点C是的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.
(1)求证:OD∥平面VBC; (2)求证:AC⊥平面VOD; (3)求棱锥C-ABV的体积.
13.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,点D为AC的中点,点E在线段AA1上. (1)当AE∶EA1=1∶2时,求证:DE⊥BC1.
(2)是否存在点E,使三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的?若存在,求AE的长,若不存在,请说明理由. 14.
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分线段PC,且分别交AC,PC于D,E两点,PB=BC,PA=AB.
(1)求证:PC⊥平面BDE;
(2)若点Q是线段PA上任一点,判断BD,DQ的位置关系,并证明你的结论;
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(3)若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.
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专题能力训练14 空间中的平行与垂直
一、能力突破训练
1.A 解析 易知选项B中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项C中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项D中,AB∥NQ,且NQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ,故排除选项B,C,D.故选A. 2.A 解析 如图,易知PA,PE,PF两两垂直,∴PA⊥平面PEF,
从而PA⊥EF, 而PO⊥平面AEF, 则PO⊥EF,
∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO. 同理可知AE⊥FO,AF⊥EO, ∴O为△AEF的垂心.
3.B 解析 当α⊥β,m∥α时,有m⊥β,m∥β,m⊂β等多种可能情况,所以①不正确;当m⊥α,n⊥β,且m⊥n时,由面面垂直的判定定理知α⊥β,所以②正确;因为m⊥β,m∥α,所以α⊥β,③正确;若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β或α,β相交,④不正确.故选B.
4.A 解析 (方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.
∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,
∴n∥CD1.
∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角, 即∠B1D1C等于m,n所成的角.
∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,
∴m,n所成的角的正弦值为.
(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,
补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.
因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,
故m,n所成角的正弦值为.
解析 如图,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG.
5.
设EF交AC于点H,连接GH,易知AC⊥EF.
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又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD, ∴AC⊥GH.
又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG. 故点P的轨迹是△EFG,其周长为
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a;④中
6.②③④ 解析 ①中也可以α与γ相交;②作平面与a,b,c都相交;③中可得球的半径为r=由PA⊥BC,PB⊥AC得点P在底面△ABC的射影为△ABC的垂心,故PC⊥AB. 7.(1)证明 由已知得AM=AD=2.
取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.
又AD∥BC,故TNAM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT. 因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB, 所以MN∥平面PAB.
(2)解 因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,
所以N到平面ABCD的距离为PA. 取BC的中点E,连接AE. 由AB=AC=3得AE⊥BC,AE=由AM∥BC得M到BC的距离为
.
,
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故S△BCM=×4×=2.所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=×S△BCM×8.(1) 证明 因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC, 所以DC⊥平面PAC.
(2)证明 因为AB∥DC,DC⊥AC,
所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC. 所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)解 棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:
取PB中点F,连接EF,CE,CF.
又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.
又因为PA⊄平面CEF,所以PA∥平面CEF.
9.(1)证明 由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.
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(2)解 取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.
在Rt△DAM中,AM=1,故DM=中,AN=1,故DN=
.
.因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.在Rt△DAN
在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN=.
所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为.
(3)解 连接CM.因为△ABC为等边三角形, M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM⊂平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.
在Rt△CAD中,CD=在Rt△CMD中,sin∠CDM=
=4.
.
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所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为10.证明 (1)∵PA=PD,且E为AD的中点,
∴PE⊥AD.
∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC. (2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD. ∴AB⊥PD.
又PA⊥PD,PA∩AB=A, ∴PD⊥平面PAB.
∵PD⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD. (3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.
∵F,G分别为PB和PC的中点,
∴FG∥BC,且FG=BC.
∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点, ∴ED∥BC,ED=BC, ∴ED∥FG,且ED=FG,
∴四边形EFGD为平行四边形, ∴EF∥GD.
又EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD, ∴EF∥平面PCD.
二、思维提升训练
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11.(1)证明 在题图①中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,所以BE⊥AC.
即在题图②中,BE⊥A1O,BE⊥OC, 从而BE⊥平面A1OC,
又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC. (2)解 由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,
且平面A1BE∩平面BCDE=BE,
又由(1),A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE, 即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.
由题图①知,A1O=
AB=
a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.
a=
a3,由
a3=36
,得a=6.
从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×
12.(1)证明 ∵O,D分别是AB和AC的中点,∴OD∥BC.
又OD⊄平面VBC,BC⊂平面VBC, ∴OD∥平面VBC.
(2)证明 ∵VA=VB,O为AB中点,∴VO⊥AB.
在△VOA和△VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC, ∴△VOA≌△VOC,
∴∠VOA=∠VOC=90°, ∴VO⊥OC.
∵AB∩OC=O,AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC, ∴VO⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC, ∴AC⊥VO.
∵VA=VC,D是AC的中点,∴AC⊥VD.
∵VO⊂平面VOD,VD⊂平面VOD,VO∩VD=V, ∴AC⊥平面VOD. (3)解 由(2)知VO是棱锥V-ABC的高,且VO=
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∵点C是的中点,
∴CO⊥AB,且CO=1,AB=2,
∴△ABC的面积S△ABC=AB·CO=×2×1=1,
,故棱锥C-ABV的体积为13.(1)证明 因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以△ABC是正三角形.
因为D是AC的中点,所以BD⊥AC.
又平面ABC⊥平面CAA1C1,所以BD⊥DE. 因为AE∶EA1=1∶2,AB=2,AA1=, 所以AE=,AD=1,
所以在Rt△ADE中,∠ADE=30°. 在Rt△DCC1中,∠C1DC=60°, 所以∠EDC1=90°,即DE⊥DC1.
因为C1D∩BD=D,所以DE⊥平面BC1D, 所以DE⊥BC1.
(2)解 假设存在点E满足题意.
设AE=h,则A1E=-h,
∴棱锥V-ABC的体积为VV-ABC=S△ABC·VO=×1×.
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所以-S△AED-因为BD⊥平面ACC1A1, 所以
=2h-(-h)-h.
h,又V棱柱=×2×=3,
所以h=1,解得h=,
故存在点E,当AE=,即E与A1重合时,三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的.
14.(1)证明 ∵DE垂直平分线段PC,PB=BC,∴DE⊥PC,BE⊥PC.
又BE∩DE=E,∴PC⊥平面BDE.
(2)解 BD⊥DQ.证明如下:由(1)得,PC⊥BD.
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BD. 又PC∩PA=P,∴BD⊥平面PAC,
当点Q是线段PA上任一点时都有DQ⊂平面PAC,∴BD⊥DQ. (3)解 ∵PA=AB=2,
∴PB=BC=2.
∵AB⊥BC,∴AC=2∵△CDE∽△CPA, ∴∴DE=
由(2)可知:BD⊥DE,
,
,∴PC=4,CE=2,且BD=.
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∴VB-CED=VC-BDE=S△BDE·CE
=
×2=
.
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