2014版创新设计高考数学二轮复习专题能力提升训练立体几何

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在正四棱柱ABCDA1BC11D1中，顶点B1和到平面A1BCD1的距离分别1到对角线BD为h和d，则下列命题中正确的是( )

A．若侧棱的长小于底面的边长，则

h的取值范围为(0,1) dh223的取值范围为(,) d23h23的取值范围为(,2) d3h23的取值范围为(,) d3B．若侧棱的长小于底面的边长，则

C．若侧棱的长大于底面的边长，则

D．若侧棱的长大于底面的边长，则【答案】C

2．在半径为R的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是

（ ）

A．2R

B．

7R 3C．R

83D．R

76【答案】B 3．如左图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界 上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可有是右图中的( )

【答案】A

4．设,是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )

A．若l,，则l C．若l,//，则l

B．若l//,//，则l D．若l//,，则l

【答案】C 5．有下列命题：①有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行, 其 余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④ 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．其中正确的命题的个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B

6．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )

A． 4 【答案】C

B． 8 C． 16 D． 20

7．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为 ( ）

A． D．E、F 【答案】D

B． F、D、E C． E、F、D

D． E、D、F

8．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OMxOA的值为( )

A．

11OBOC 则x231 2B．

1 3C．

1 6D．0

【答案】C

9．经过空间任意三点作平面( )

A．只有一个 B．可作二个 C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个 【答案】D

10．如图，在一根长11cm，外圆周长6cm的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为( )

A． 61cm

B．157cm

C．1021cm

D．1037cm

【答案】A

11．已知三棱锥S—ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球

的半径为( )

A．36 B．6 C．3 D．9 【答案】C

12．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为( )

A．

1 3B．

1 2C．

3 2D．1

【答案】B

二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．一个几何体的三视图如下图所示，正视图是一个边长为2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ．

【答案】4

14．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，向量BA1与向量AC所成的角为 ． 【答案】120°

15．半径为R的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为____________ 【答案】3R

16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

① BM与ED 平行； ② CN与BE异面；

③ CN与BM成60； ④ DM与BN垂直；

⑤ DM与CN相交.

以上五个命题中，正确命题的序号是____________. 【答案】③④⑤

三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．如图，已知△ABC中∠B=300，PA⊥平面ABC，PC⊥BC，PB与平面ABC所成角为450，AH⊥PC，垂足为H．

（1）求证：AHPB

（2）求二面角A—PB—C的正弦值． 【答案】（1）由三垂线定理易证BCAC，可得BC面PAC，也即面PBC面PAC 又因为AHPC,所以AH面PBC，所以AHPB

(2）过H作HEPB于E，连结AE由三垂线定理可知AEPB AEH为所求二面角的平面角

令AC=1则BA=2,BC=3,PA=2. PB=22

由等面积法可得AE=2 AH=

25 5sinAEH=

10 518．如图所示，已知AB平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BCCD．

（1）求证：MN∥平面BCD；

（2）求证：平面B CD平面ABC；

（3）若AB＝1，BC＝3，求直线AC与平面BCD所成的角． 【答案】（1）因为M,N分别是AC,AD的中点，所以MN//CD． 又MN平面BCD且CD平面BCD，所以MN//平面BCD．

(2)因为AB平面BCD, CD平面BCD，所以ABCD． 又CDBC且ABBCB，所以CD平面ABC．

又CD平面BCD，所以平面BCD平面ABC．

(3)因为AB平面BCD，所以ACB为直线AC与平面BCD所成的角． 在直角ABC中，AB=1,BC=3，所以tanACB故直线AC与平面BCD所成的角为30．

19．如图，四棱锥EABCD中，EAEB，AB∥CD，ABBC，AB2CD． （1）求证：ABED；

（2）线段EA上是否存在点F，使DF// 平面BCE？若存在，求出请说明理由．

EAB3．所以ACB30． BC3EF的值；若不存在，EABCDA【答案】（1）取AB中点O，连结EO，DO． 因为 EAEB，所以 EOAB． 因为 AB∥CD，AB2CD， 所以 BO∥CD，BOCD．

又因为 ABBC，所以四边形OBCD为矩形， 所以 ABDO．

因为 EODOO，所以 AB平面EOD． 所以 ABED．

EF1，即F为EA中点时，有DF// 平面BCE． EA2证明如下：取EB中点G，连接CG，FG．

1因为F为EA中点，所以FG∥AB，FGAB．

21 因为AB∥CD，CDAB，所以FG∥CD，FGCD．

2所以四边形CDFG是平行四边形，所以 DF∥CG． 因为 DF平面BCE，CG平面BCE， 所以 DF// 平面BCE．

(2）点F满足

20．如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且

PAAD2，E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点．

（1）求证：PB//平面EFH； （2）求证：PD平面AHF； （3）求二面角HEFA的大小．

【答案】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0), P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．

(1）证明：∵PB(2,0,2)，EH(1,0,1)， ∴PB2EH,

∵PB平面EFH，且EH平面EFH， ∴PB //平面EFH．

(2）PD(0,2,2)，AH(1,0,0)， AF(0,1,1)，

PDAF0021(2)10,PDAH0120(2)00.PDAF,PDAH，

AFAHA， PD平面AHF．

又

(3）设平面HEF的法向量为n(x,y,z), 因为EF(0,1,0)，EH(1,0,1)，

nEFy0,则取n(1,0,1). nEHxz0,又因为平面AEF的法向量为m(1,0,0), 所以cosm,nmn|m||n|10021122, 2m,n45,

所以二面角HEFA的大小为45．

21．如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°． （1）求证：平面PBD与平面PAC所成的二面角是直角； （2）求点A到平面PBD的距离； （3）求二面角A—PB—D的余弦值.

【答案】（1）设AC与BD交于O点

底面是菱形

ACBD. 以OA、OB所在直线分别x轴，y轴. 以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立 如图的空间直角坐标系，证明两个平面的法向量互相垂直（略）． (2）设平面PDB的法向量为n1(x1,y1,z1)

DP(3,1,2)DB(0,2,0)

23n1DP03x1y12z10得令z11得n1(,0,1) 由3n1DB02y10

DA(3,1,0)点A到平面PDB的距离d|n1DA|221=

7|n1| (3）设平面ABP的法向量n2(x2,y2,z2)

AP(0,0,2),AB(3,1,0)

3x232x0APn022由得令y21得y21 z0ABn203x2y202n2(3,1,0) 3

233,0,1)(,1,0)nn33cosn1,n21234|n1||n2|73(7 77 7 所以二面角A—PB—D的余弦值为

22．如图，在四梭锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AD =2，AB＝1.点M线段PD的中点．设BM与平面PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sinθ的最大值．

【答案】设点B到平面PCD的距离为d. ∵AB∥CD, ∴AB∥平面PCD.

∴点B到平面PCD的距离与点A到平面PCD的距离相等. 过点A在平面PAD内作AN⊥PD于N,

平面ABM⊥平面PCD，AN平面PCD.

所以AN就是点A到平面PCD的距离. 设棱锥的高为x，则dAN=在Rt△ABM中，

2x4x2.

PD2AD2AP2x2. )12BMABAMAB(2442222x322xx2sin.

2323222因为122x12232222，当且仅当2x，即x432时，等号成

xxx2243212x2x412dBM4x24x4立.

sin故

41232x22x42222222.