杨辉三角和概率

一、杨辉三角及其性质

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

1·每行端点与结尾的数为1. 2·每个数等于它上方两数之和。

3·每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。 4·第n行的数字有n项。 5·第n行数字和为2n1。

m16·第n行的m个数可表示为Cn1，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合

数。第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。

7·每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。

iii1即 Cn1CnCn。

8·(ab)的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

9·将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

10·将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11; 11=11; 121=11…当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字\"1\"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。

012n

二、概率和杨辉三角 大家都一定玩过掷硬币吧。 硬币有正反两面，众所周知，每一次掷，能得到正面、反面的几率都是50％。而且，同时掷多枚硬币能获得的情况也有很多；让我们将掷硬币数量与其能获得的情况进行研究。 1、首先，掷0枚硬币，也就是不掷，只有1种情况：没有 再掷1枚硬币，会有两种情况：正面、反面。 然后，掷2枚硬币，则会出现的情况是：2正、正反、反正、2反。 又掷3枚硬币，就有：3正、2正1反、2反1正、3反这几种情况。 如果掷4枚，情况就有：4正、3正1反、2反2正、1正3反、4反。 ...... 2、列表： 掷的个数/个 情况 0 1 / 2 3 4 正、反 2正、正反、2反 3正、2正1反 4正、3正1反、 2反1正、3反 2正2反、1正3反、 4反。 ...... 3、但是，同一种情况，又有不同的分法（如：2正1反，有正正反、正反正、反正正3种）。 而像全正、全反这样的就只有一种情况。 再拿2正2反举个例子：它有正正反反、正反正反、正反反正、反正正反、反正反正、反反正正6种分法，这样掷硬币就有许多情况，看来掷硬币也有挺复杂的学问。 4、那么问题来了，掷硬币与杨辉三角又有什么关系呢？我先出一题：你掷了硬币99次都是正面，请问第100次正面反面的几率是多少？ 你可能会毫不犹豫的答：50％和50％。来让我们看看对不对。 这是一个杨辉三角： 1（无） 1（正） 1（反） 1（2正） 2（正反）（反正） 1（2反) 1（3正） 3（正正反）（正反正）（反正正） 3（正反反）（反正反）（反反正） 1（3反） ...... 这样，杨辉三角和掷硬币的概率就紧密联系在一起啦。再回看上面的问题：第100次的几率。杨辉三角第100层的数：1 100 ....... 这说明：掷100次硬币，“100正”的几率是“99正1反”的1/100。再按照比例求出来即可。