湖北省部分重点中学
2016－2017学年度上学期高二期中考试
数 学 试 卷(理 科)
命题人： 市49中 唐和海 审题人： 武汉中学 杨银舟 一、选择题（5×12＝60分） 1. 下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 2. 为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为（ ）A.40 B.30 C.20 D.12 3. 已知直线⊥平面①
∥
，直线m ②
，给出下列命题： ∥m; ③∥m
④lm//；其中正确的命题是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①③ 4. 某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为（ ）
A．k>4? B．k>5? C．k>6? D．k>7?
5. 有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率为
（ ） A．
3213 B． C． D． 2055106. 如右图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有( ) A．a1>a2 B．a2>a1 C．a1＝a2 D．a1、a2的大小不确定
7. 某人5次上班途中所花的时间（单位：min）分别为：x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数是10，方差为2，则
的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8.两条异面直线a,b所成的角是60°，A为空间一定点，则过点A作一条与直线a,b均成60°的
直线，这样的直线能作几条（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
9. 如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中 ①③
与与
平行； ②成
角； ④
与
与
是异面直线；
垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） A．①②③
—
B．②④ 中，点
与
C．③④D．②③④
10.如图，在棱长为1的正方体在线段
上运动，给出以下四个命题：①异面直线
所成的角为定值；②二面角③三棱锥)A． B．
的大小为定值；
的体积为定值；其中真命题的个数为(
C． D．
11. 下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为y0.8x155，后因某未知原因第5组数据的记为
（A）
（如下表所示），则利用回归方程可求得实数196 1 197 3 200 6 203 7 （C）
204 （D）
， SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的余
值模糊不清，此位置数据
的值为（ ）
（B）
12.在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝
弦值是 A.
，若点S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是( )
B. 6
C.8
D.
二、填空题（5×4＝20分）
13. 已知A表示点，a，b，c表示直线，M，N表示平面，给出以下命题： ①a⊥M，若M⊥N，则a∥N ②a⊥M，若b∥M,c∥a,则a⊥b,c⊥b ③a⊥M，b
M,若b∥M，则b⊥a
④a b∩=A,c为b在内的射影，若a⊥c，则a⊥b。
其中命题成立的是___________
14. 执行如下图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为
．
（14题图）
（15题图）
15. 如右上图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 ．
16. 甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率为 ．
三、解答题（10+12×5＝70分）
17. （10分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；
（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．
18. （12分）已知：四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点，PA=a，∠PDA=45º (1)求证：AF∥平面PCE； (2)求证：平面PCE⊥平面PCD； (3)求点D到平面PCE的距离.
19. （12分）某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：
，
，
，
。
，
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； （3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数如下表所示，求数学成绩在分数段 x：y
1 ：1 2 ：1 3 ：4 之外的人数。
4 ：5 与数学成绩相应分数段的人数
之比
20. 已知四棱锥P—GBCD中(如图)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4。 （Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
（Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC,PF:FC=k,求k的值.
21.如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面
，
．
，
，
（Ⅰ）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值； （Ⅱ）直线EA与平面BCD所成角的正弦值.
22、如图，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D为线段AB的中点．若△AOC
是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B－AO－C的大小为． （Ⅰ）当平面COD⊥平面AOB时，求的值；
（Ⅱ）当∈[
，]时，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范围．
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2016－2017学年度上学期高二期中考试
理 科 数 学 试 题 答 案
1~5、DADAD 6~10、BDCCD 11、D 12、B 13、②③④ 14、8 15、90° 16、
67 288
16、 解：甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x－y≤4，在如图所示的平面直角坐标系内，（x，y）的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果 何概型公式得： P（A）＝1-由阴影部分表示．由几
44267＝． 57628867． 288故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是17、解：（Ⅰ）由题意可知，
参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人）， 参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）．
所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+2=6（人）．…………5分 （Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A． 由（Ⅰ）可知，
参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d； 参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．
从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB
共15种情况．
事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率P(A)18. （1）取PC的中点为G，连结FG、EG
7．…………10分 15 ∵FG∥DC FG=DC DC∥AB AE=AB
∴FG∥AE 且 FG＝AE ∴四边形AFGE为平行四边形 ∴AF∥EG 又∵AF
平面PCE EG
平面PCE
∴AF∥平面PCE…………4分
（2） ∵PA⊥平面ABCD AD⊥DC ∴PD⊥DC
∴∠PDA为二面角P-CD-B的平面角 ∴∠PDA=45º，即△PAD为等腰直角三角形 又∵F为PD的中点 AF⊥PD ① 由DC⊥AD DC⊥PD AD∩PD=D 得：DC⊥平面PAD 而AF ∴ AF⊥DC ②
由①②得AF⊥平面PDC 而EG∥AF ∴EG⊥平面PDC 又EG
平面PCE 平面PAD
∴平面PCE⊥平面PDC…………8分 （3）过点D作DH⊥PC于H
∵平面PCE⊥平面PDC ∴DH⊥平面PEC 即DH的长为点D到平面PEC的距离 在Rt△PAD中，PA=AD=a PD= 在Rt△PDC中，PD=
a,CD=a
a
PC=a DH=a
即：点D到平面PCE的距离为19、(1)
a…………12分
……………………2分
解得………………………………3分
4分
………………5分
(2)50-60段语文成绩的人数为：60-70段语文成绩的人数为：70-80段语文成绩的人数为：80-90段语文成绩的人数为： 90-100段语文成绩的人数为：
5556540753085209557分 100738分x(3)依题意：50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人
60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=
70-80段数学成绩的的人数为=
80-90段数学成绩的的人数为=90-100段数学成绩的的人数为=
20、解法一：
……………………12分
（I）如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz， 则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）故E（1，1，0）
故异面直线GE与PC所成角的余弦值为（Ⅱ）设F（0，y , z）
.…………6分
在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则
，∴
解法二：
……………………12分
（Ⅰ）在平面ABCD内，过C点作CH//EG
交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异 面直线GE与PC所成的角. 在△PCH中，
由余弦定理得，cos∠PCH=
∴异面直线GE与PC所成角的余弦值为.…………6分
（Ⅱ）在平面GBCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC
∴GC⊥平面MFD， ∴GC⊥FM
由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD ∴FM//PG
由得GM⊥MD，∴GM=GD·cos45°=
，∴
21、（Ⅰ）（法1）过∴
，
作
………………12分
作的垂线交于
，连结
，∵
，
的平行线，过
是平面∵平面又∵
平面
与平面平面
，
所成二面角的棱． ，
∴
，∴平面
平面，∴
， ， ∴
是所求二面角
的平面角． 设
，
∴
， ，则
，
∴（法2）∵∴以点标系
为原点，直线
，则
，平面
．
平面
为
，
轴，建立空间直角坐内（如图）．设，
，
为轴，直线轴在平面
，由已知，得．C（0，2a,0）
∴设平面则
的法向量为且
，
，
，
，
∴∴
解之得取
，得平面
的一个法向量为
．
.
又∵平面的一个法向量为
．…………6分
（Ⅱ）设EA与平面BCD所成的角为α，EA与平面BCD的法向量所成的角为β，由（1）可知AP⊥CD，又AP⊥BC，∴AP为平面BCD的法向量。由B、C的坐标可得点P的坐标为（a,a,0）,
即＝（a,a,0）；由（1）＝（0，a,）,∴sinα===
即直线EA与平面BCD所成角的正弦值为………………12分。
22、解：（Ⅰ）如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的
直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则A (0，0，2D (0，1，
)，C (2sin，2cos，0)．设
)，B (0，2，0)，
＝(x，y，z)为平面COD的一个法向量，
由
取z＝sin，则
得＝(
cos，－
，
sin，sin)．
因为平面AOB的一个法向量为由平面COD⊥平面AOB得
＝(1，0，0)， ＝0，
所以cos＝0，即＝． ……………… 6分
（Ⅱ）设二面角C－OD－B的大小为，由(Ⅰ)得当＝时， cos＝0；
当∈(，]时，tan≤－，
cos= ＝＝－， 故－≤cos＜0．
综上，二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为[－
，0]． …… 12分
