高二电磁感应经典例题

精锐教育学科教师辅导讲义

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学员编号： 年 级：高二 课时数：3 学员姓名： 辅导科目：物理 教师： 课 题 授课时间 教学目标 重点、难点 1、理解楞次定律 2、会用右手定则判断感应电流方向 3、深刻理解法拉第电磁感应定律 1、产生感应电流的条件 2、感应电动势产生的条件 3、磁通量变化 教学内容 电磁感应 一、复习课时：10课时 第1课时——电磁感应现象，楞次定律 第2课时——法拉第电磁感应定律 第3课时——电磁感应中的力学问题 第4课时——电磁感应中的电路问题 第5、6课时——电磁感应中的能量问题 二、知识结构 精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

中国高端的教育领先品牌 三、难点提示： 1．产生感应电流的条件 感应电流产生的条件是：穿过闭合电路的磁通量发生变化。 以上表述是充分必要条件。不论什么情况，只要满足电路闭合和磁通量发生变化这两个条件，就必然产生感应电流；反之，只要产生了感应电流，那么电路一定是闭合的，穿过该电路的磁通量也一定发生了变化。 当闭合电路的一部分导体在磁场中做切割磁感线的运动时，电路中有感应电流产生。这个表述是充分条件，不是必要的。在导体做切割磁感线运动时用它判定比较方便。 2．感应电动势产生的条件。 感应电动势产生的条件是：穿过电路的磁通量发生变化。 这里不要求闭合。无论电路闭合与否，只要磁通量变化了，就一定有感应电动势产生。这好比一个电源：不论外电路是否闭合，电动势总是存在的。但只有当外电路闭合时，电路中才会有电流。 3．关于磁通量变化 在匀强磁场中，磁通量Φ=BSsinα（α是B与S的夹角），磁通量的变化ΔΦ=Φ2-Φ1有多种形式，主要有： ①S、α不变，B改变，这时ΔΦ=ΔBSsinα ②B、α不变，S改变，这时ΔΦ=ΔSBsinα ③B、S不变，α改变，这时ΔΦ=BS(sinα2-sinα1) 当B、S、α中有两个或三个一起变化时，就要分别计算Φ1、Φ2，再求Φ2-Φ1了。 在非匀强磁场中，磁通量变化比较复杂。有几种情况需要特别注意： ①如图所示，矩形线圈沿a →b →c在条形磁铁附近移动，试判断穿过线圈的磁通量如何变化？如果线圈M沿条形磁铁轴线向右移动，穿过该线圈的磁通量如何变化？ M a N b S c a b c （穿过上边线圈的磁通量由方向向上减小到零，再变为方向向下增大；右边线圈的磁通量由方向向下减小到零，再变为方向向上增大） ②如图所示，环形导线a中有顺时针方向的电流，a环外有两个同心导线圈b、c，与环形导线a在同一平面内。当a中的电流增大时，穿过线圈b、c的磁通量各如何变化？在相同时间内哪一个变化更大？ （b、c线圈所围面积内的磁通量有向里的也有向外的，但向里的更多，所以总磁通量向里，a中的电流增大时，总磁通量也向里增大。由于穿过b线圈向外的磁通量比穿过c线圈的少，所以穿过b线圈的磁通量更大，变化也更大。） c b a 精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

中国高端的教育领先品牌 ③如图所示，虚线圆a内有垂直于纸面向里的匀强磁场，虚线圆a外是无磁场空间。环外有两个同心导线圈b、c，与虚线圆a在同一平面内。当虚线圆a中的磁通量增大时，穿过线圈b、c的磁通量各如何变化？在相同时间内哪一个变化更大？ （与②的情况不同，b、c线圈所围面积内都只有向里的磁通量，且大小相同。因此穿过它们的磁通量和磁通量变化都始终是相同的。） 4．楞次定律 感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。 楞次定律解决的是感应电流的方向问题。它关系到两个磁场：感应电流的磁场（新产生的磁场）和引起感应电流的磁场（原来就有的磁场）。前者和后者的关系不是“同向”或“反向”的简单关系，而是前者“阻碍”后者“变化”的关系。 在应用楞次定律时一定要注意：“阻碍”不等于“反向”；“阻碍”不是“阻止”。 ⑴从“阻碍磁通量变化”的角度来看，无论什么原因，只要使穿过电路的磁通量发生了变化，就一定有感应电动势产生。 ⑵从“阻碍相对运动”的角度来看，楞次定律的这个结论可以用能量守恒来解释：既然有感应电流产生，就有其它能转化为电能。又由于感应电流是由相对运动引起的，所以只能是机械能转化为电能，因此机械能减少。磁场力对物体做负功，是阻力，表现出的现象就是“阻碍”相对运动。 ⑶从“阻碍自身电流变化”的角度来看，就是自感现象。 5．右手定则。 对一部分导线在磁场中切割磁感线产生感应电流的情况，右手定则和楞次定律的结论是完全一致的。这时，用右手定则更方便一些。 6．楞次定律的应用。 楞次定律的应用应该严格按以下四步进行：①确定原磁场方向；②判定原磁场如何变化（增大还是减小）；③确定感应电流的磁场方向（增反减同）；④根据安培定则判定感应电流的方向。 7．法拉第电磁感应定律 电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，即Ekc b ，在国tB 际单位制中可以证明其中的k=1，所以有E。对于n匝线圈有En。（平均值） tta b l d v c 精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

中国高端的教育领先品牌 将均匀电阻丝做成的边长为l的正方形线圈abcd从匀强磁场中向右匀速拉出过程，仅ab边上有感应电动势E=Blv，ab边相当于电源，另3边相当于外电路。ab边两端的电压为3Blv/4，另3边每边两端的电压均为Blv/4。 将均匀电阻丝做成的边长为l的正方形线圈abcd放在匀强磁场中，当磁感应强度均匀减小时，回路中有感应电动势产生，大小为E=l(ΔB/Δt)，这种情况下，每条边两端的电压U=E/4-I r = 0均为零。 感应电流的电场线是封闭曲线，静电场的电场线是不封闭的，这一点和静电场不同。 在导线切割磁感线产生感应电动势的情况下，由法拉第电磁感应定律可推导出感应电动势大小的表达式是：E=BLvsinα（α是B与v之间的夹角）。（瞬时值） 8．转动产生的感应电动势 ⑴转动轴与磁感线平行。如图，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向外，长L的金属棒oa以o为轴在该平面内以角速度ω逆时针匀速转动。求金属棒中的感应电动势。在应用感应电动势的公式时，必须注意其中的速度v应该指导线上各点的平均速度，在本题中应该是金属棒中点的速度，因此有EBLL1BL2。 22 ⑵线圈的转动轴与磁感线垂直。如图，矩形线圈的长、宽分别为L1、L2，所围面积为S，向右的匀强磁场的磁感应强度为B，线圈绕图示的轴以角速度ω匀速转动。线圈的ab、cd两边切割磁感线，产生的感应电动势相加可得E=BSω。如果线圈由n匝导线绕制而成，则E=nBSv o a b 2a B l d c ω ω ω。从图示位置开始计时，则感应电动势的瞬时值为e=nBSωcosωt 。该结论与线圈的形状和转动轴的具体位置无关（但是轴必须与B垂直）。 实际上，这就是交流发电机发出的交流电的瞬时电动势公式。 L2 L1 b c 电磁感应现象，楞次定律（1课时） 典型例题分析 【例1】 如图所示，有两个同心导体圆环。内环中通有顺时针方向的电流，外环中原来无电流。当内环中电流逐渐增大时，外环中有无感应电流？方向如何？ 【答案：外环中感应电流方向为逆时针】 【例2.】 如图所示，闭合导体环固定。条形磁铁S极向下以初速度v0沿过导体环圆心的竖直线下落过程，导体环中的感应电流方向如何？ 【感应电流先顺时针后逆时针】 精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

N v0 M 中国高端的教育领先品牌 【例3】 如图所示装置中，cd杆原来静止。当ab 杆做如下那些运动时， cd杆将向右移动？ A.向右匀速运动 B.向右加速运动 C.向左加速运动 D.向左减速运动 【B、D】 c a L2 L1 d b 【例4】 如图所示，水平面上有两根平行导轨，上面放两根金属棒a、b。当条形磁铁如图向下移动时（不到达导轨平面），a、b将如何移动？ 【a、b将互相靠近】 【例5】 如图所示，用丝线将一个闭合金属环悬于O点，虚线左边有垂直于纸面向外的匀强磁场，而右边没有磁场。金属环的摆动会很快停下来。试解释这一现象。若整个空间都有垂直于纸面向B a b 外的匀强磁场，会有这种现象吗？ 法拉第电磁感应定律（1课时） 典型例题分析 【例1】如图所示，长L1宽L2的矩形线圈电阻为R，处于磁感应强度为B的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。求：将线圈以向右的速度v匀速拉出磁场的过程中，⑴拉力F大小； ⑵拉力的功率P； ⑶拉力做的功W； ⑷线圈中产生的电热Q ；⑸通过线圈某一截面的电荷量q 。 【分析与解答】 这是一道基本练习题，要注意要注意所用的边长究竟是L1还是L2 ，还应该思考一下所求的各物理量与速度v之间有什么关系。 BLv⑴EBL2v,IE,FBIL2,Fv RR2B2L2B2L22L1v22v⑵PFvv v ⑶WFL1RR222L1 L2 v B R a m L b ⑷QWv ⑸ qItE与v无关 tRR特别要注意电热Q和电荷q的区别，其中q与速度无关！（这个结论以后经常会遇到）。 R精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

中国高端的教育领先品牌 【例2】如图各情况中，电阻R=0.lΩ，运动导线的长度都为l=0.05m，作匀速运动的速度都为v=10m／s．除电阻R外，其余各部分电阻均不计．匀强磁场的磁感强度B=0.3T．试计算各情况中通过每个电阻R的电流大小和方向． 【（a）0；（b）3A，从左向右； （C）1.5A，从上向下； （d）1A，从下向上。】 【例3】 如图所示，U形导线框固定在水平面上，右端放有质量为m的金属棒ab，ab与导轨间的动摩擦因数为μ，它们围成的矩形边长分别为L1、L2，回路的总电阻为R。从t=0时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均匀变化的匀强磁场B=kt，（k>0）那么在t为多大时，金属棒开始移动？ 【分析与解答】 由EL1 L2 a B b kL1L2可知，回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是恒定的，但由于安培力tF=BIL∝B=kt∝t，随时间的增大，安培力将随之增大。当安培力增大到等于最大静摩擦力时，ab将开始向左移动。这时有：ktL1kL1L2mg,tmgR 2Rk2L1L2【例4】如图所示，一矩形线圈面积为400 cm2，匝数为100匝，绕线圈的中心轴线OO'以角速度匀速转动，匀强磁场的磁感强度B2T，转动轴与磁感线垂直，线圈电阻为1，，R，其余电阻不计，电键K断开，当线圈转到线圈平面与磁感R3，R612123线平行时，线圈所受磁场力矩为1（1）线圈转动的角速度。6Nm。求：（2）感应电动势的最大值。（3）电键K闭合后，线圈的输出功率。 【分析与解答】（1）线圈平面平行磁感线时 EmnBS，Em o t IEm ，MnBIS，得5rad/s。 rR1R2 （2）EmnBS1002540010420228.2V。 精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

中国高端的教育领先品牌 （3）当K闭合后，外电路总电阻为RR1率P出IR43.75W。 2RRm23， 电流有效值 I，输出功72.5ARR2(Rr)23【例5】 如图所示，xoy坐标系y轴左侧和右侧分别有垂直于纸面向外、向里的匀强磁场，磁感应强度均为B，一个围成四分之一圆形的导体环oab，其圆心在原点o，半径为R，开始时在第一象限。从t=0起绕o点以角速度ω逆时针匀速转动。试画出环内感应电动势E随时间t而变的函数图象（以顺时针电动势为正）。 b 【分析与解答】开始的四分之一周期内，oa、ob中的感应电动势方向相同，大小应相加；第二个四分之一周期内穿过线圈的磁通量不变，因此感应电动势为零；第三个四分之一周期内感应电动势与第一个四分之一周期内大小相同而方向相反；第四个四分之一周期内感应电动势又为零。感应电动势的最大值为Em=BR2ω，周期为T=2π/ω，图象如右。 y ω B o a x 电磁感应中的力学问题（1课时） 这类问题覆盖面广，题型也多种多样；但解决这类问题的关键在于通过运动状态的分析来寻找过程中的临界状态，如速度、加速度取最大值或最小值的条件等，基本思路是： I 确定电源（E，r） 典型例题分析 界状态 ERr感应电流 F=BIL 运动导体所受的安培力 F=ma v与a方向关系 合外力 a变化情况 运动状态的分析 【例1】如图所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的 AC端连接一个阻值为 R的电阻，一根质量为m、垂直于导轨放置的金属棒ab，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中ab棒的精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

中国高端的教育领先品牌 最大速度。已知ab与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻都不计。 【分析与解答】ab沿导轨下滑过程中受四个力作用，即重力mg，支持力FN 、摩擦力Ff和安培力F安，如图所示，ab由静止开始下滑后，将是vEIF安a（为增大符号），所以这是个变加速过程，当加速度减到a=0时，其速度即增到最大v=vm，此时必将处于平衡状态，以后将以vm匀速下滑ab下滑时因切割磁感线，要产生感应电动势，根据电磁感应定律：E=BLv，闭合电路AC ba中将产生感应电流，根据闭合电路欧姆定律：I=E/R，据右手定则可判定感应电流方向为aAC ba，再据左手定则判断它受的安培力F安方向如图示，其大小为：F安=BIL 。取平行和垂直导轨的两个方向对ab所受的力进行正交分解，应有： FN = mgcosθ， Ff= μmgcosθ，可得B2L2vF安。 RB2L2v以ab为研究对象，根据牛顿第二定律应有：mgsinθ –μmgcosθ-=ma，ab做加速R度减小的变加速运动，当a=0时速度达最大，因此，ab达到vm时应有： B2L2vmgsincosRmgsinθ –μmgcosθ-=0 ，由④式可解得vm。 22RBL注意：（1）电磁感应中的动态分析，是处理电磁感应问题的关键，要学会从动态分析的过程中来选择是从动力学方面，还是从能量、动量方面来解决问题。 （2）在分析运动导体的受力时，常画出平面示意图和物体受力图。 【例2】如图所示，水平面上有两根平行的光滑导轨MN、PQ，相距L=1m，在M和P之间接有R=2Ω的定值电阻，金属棒ab的质量m=0.5kg，垂直放在导轨上，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感强度为B=0.5T，其它电阻不计。（1）若金属棒ab在F力作用下，以a=4m/s2的加速度向右从静止开始作匀加速直线运动，求第10s末拉力F的大小。（2）在图中，画出力F的大小随时间变化的图线。 【分析与解答】（1）设导体棒所受的安培力为FA由牛二得 E－FAma，由安培力公式得FA=BIL，IEBLvBLat，RRR B2L2at20.5t。当t10s时由以上式子可得FmaR代入上式可得F7N 。（2）由F20.5t得图线为一直线，过（0，2）（10，7）两点. 【例3】在竖直平面内有两条平行的光滑金属导轨ab、cd被竖直地固定，导轨处在与导轨平面垂直的匀强磁场中，如图所示。已知：与导轨相连的电源电动势为3.0V，内阻0.5Ω，匀强磁场磁感应强度为0.80T，水平放置的导体棒精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

中国高端的教育领先品牌 MN的电阻为1.5Ω，两端与导轨接触良好，且能沿导轨无摩擦滑动（其它电阻不计）。当单刀双掷电键S与1接通时，导体棒刚好保持静止状态。试确定：（1）磁场方向，并在图中画出。（2）S与1接通时，导体棒的电热功率。（3）当电键S与2接通后，导体棒MN在运动过程中，单位时间（1s）内导体棒扫过的最大面积。（导轨足够长，结果保留两位有效数字。） 【分析与解答】（1）磁场方向垂直纸面向里（图略）（2）S与1接通时，导体棒处于静止，导体棒的发热功率：PMN(E2)R3.4W。 RrBEL， Rr（3）设导轨宽度为L，当电键S与1接通时：导体棒受重力和安培力作用处于平衡有：mgBILmg当电键S与2接通时：导体棒切割磁感线，产生感应电流，导体棒做加速度逐渐减小的加速运动，当：安培力Fmg时，导体棒的切割速度最大。 即：BBLvmmgRLmg最大速度vm22。故导体棒MN在单位时间（1s）内扫过的最大面积为：RBLREmgRS2.8(m2)。 ，有：m2B(Rr)BLsmvmtL 电磁感应中的电路问题（1课时） 电磁感应电路的分析与计算以其覆盖知识点多，综合性强，思维含量高，充分体现考生能力和素质等特点，成为历届高考命题的热点。 命题特点：对电磁感应电路的考查命题，常以学科内综合题目呈现，涉及电磁感应定律、直流电路、功、动能定理、能量转化与守恒等多个知识点，突出考查考生理解能力、分析综合能力，尤其从实际问题中抽象概括构建物理模型的创新能力。 求解策略：变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法.巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化。 解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势.其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零. 典型例题分析 精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

中国高端的教育领先品牌 【例1】据报道，1992年7月，美国“阿特兰蒂斯”号航天飞机进行了一项卫星悬绳发电实验，实验取得了部分成功.航天飞机在地球赤道上空离地面约3000 km处由东向西飞行，相对地面速度大约6.5×103 m/s，从航天飞机上向地心方向发射一颗卫星，携带一根长20 km，电阻为800 Ω的金属悬绳，使这根悬绳与地磁场垂直，做切割磁感线运动.假定这一范围内的地磁场是均匀的.磁感应强度为4×10-5T，且认为悬绳上各点的切割速度和航天飞机的速度相同.根据理论设计，通过电离层（由等离子体组成）的作用，悬绳可以产生约3 A的感应电流，试求： （1）金属悬绳中产生的感应电动势；（2）悬绳两端的电压； （3）航天飞机绕地球运行一圈悬绳输出的电能（已知地球半径为00 km）。 【错解分析】 考生缺乏知识迁移运用能力和抽象概括能力，不能于现实情景中构建模型（切割磁感线的导体棒模型）并进行模型转换（转换为电源模型及直流电路模型），无法顺利运用直流电路相关知识突破. 【分析与解答】 将飞机下金属悬绳切割磁感线产生感应电动势看作电源模型，当它通过电离层放电可看作直流电路模型.如图所示. （1）金属绳产生的电动势： E=Blv=4×10-5×20×103×6.5×103 V=5.2×103 V （2）悬绳两端电压，即路端电压可由闭合电路欧姆定律得： U=E-Ir=5.2×103-3×800 V=2.8×103 V （3）飞机绕地运行一周所需时间 （电离层） 2R23.14(001033000103)t==s=9.1×103 s。则飞机绕地运行一圈输出电能：E=UIt=2800×3×9.13v6.510×103 J=７.6×107 J 【例2】如图所示，竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B=0.5 T，并且以B=0.1 T/s在变化，水平轨道电阻不计，t且不计摩擦阻力，宽0.5 m的导轨上放一电阻R0=0.1 Ω的导体棒，并用水平线通过定滑轮吊着质量M=0.2 kg的重物，轨道左端连接的电阻R=0.4 Ω，图中的l=0.8 m，求至少经过多长时间才能吊起重物. 【错解分析】（1）不善于逆向思维，采取执果索因的有效途径探寻解题思路；（2）实际运算过程忽视了B的变化，将B代入F安=BIlab，导致错解. 【分析与解答】由法拉第电磁感应定律可求出回路感应电动势：E=B，Stt由闭合电路欧姆定律可求出回路中电流 I=E，由于安培力方向向左，应用左手定则可判断出电流方向为R0R精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

中国高端的教育领先品牌 顺时针方向（由上往下看）。再根据楞次定律可知磁场增加，在t时磁感应强度为：B/=（B＋B·t），此时安培力为F安=B′Ilab，由受力分析可知 F安=mg ，解得 t=495 s t【例3】 半径为a的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B=0.2T，磁场方向垂直纸面向里，半径为b的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a=0.4m，b=0.6m，金属环上分别接有灯L1、L2，两灯的电阻均为R =2Ω，一金属棒MN与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计 （1）若棒以v0=5m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO′ 的瞬时（如图所示）MN中的电动势和流过灯L1的电流。 （2）撤去中间的金属棒MN，将右面的半圆环OL2O′ 以OO′ 为轴向上翻转90º，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为ΔB/Δt=4T/s，求L1的功率。 【分析与解答】（1）棒滑过圆环直径OO′ 的瞬时，MN中的电动势 E1=B2a v=0.2×0.8×5=0.8V，等效电路如图（1）所示，流过灯L1的电流I1=E1/R=0.8/2=0.4A。 （2）撤去中间的金属棒MN，将右面的半圆环OL2O′ 以OO′ 为轴向上翻转90º，半圆环OL1O′中产生感应电动势，相当于电源，灯L2为外电路，等效电路如图（2）所示，感应电动势E2=ΔФ/Δt=0.5×πa2×ΔB/Δt=0.32V ，L1的功率： P1=(E2/2)2/R=1.28×102W 图（2） 图（1） 电磁感应中的能量问题（2课时） 无论是使闭合回路的磁通量发生变化，还是使闭合回路的部分导体切割磁感线，都要消耗其它形式的能量，转化为回路中的电能。这个过程不仅体现了能量的转化，而且保持守恒，使我们进一步认识包含电和磁在内的能量的转化和守恒定律的普遍性。 分析问题时，应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量参与了相互转化，如有摩擦力做功，必然有内能出现；重力做功，就可能有机械能参与转化；安培力做负功就将其它形式能转化为电能，做正功将电能转化为其它形式的能；然后利用能量守恒列出方程求解。 d c 典型例题分析 【例1】 如图所示，矩形线圈abcd质量为m，宽为d，在竖直平面内由静止自由下落。其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上、下边界水平，宽度也为d，线圈ab边刚进入磁场就开始a b 精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

中国高端的教育领先品牌 做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程，产生了多少电热？ 【分析与解答】 ab刚进入磁场就做匀速运动，说明安培力与重力刚好平衡，在下落2d的过程中，重力势能全部转化为电能，电能又全部转化为电热，所以产生电热Q =2mgd。 【例2】如图所示，水平面上固定有平行导轨，磁感应强度为B的匀强磁场方向竖直向下。同种合金做的导体棒ab、cd横截面积之比为2∶1，长度和导轨的宽均为L，ab的质量为m ，电阻为r，开始时ab、cd都垂直于导轨静止，不计摩擦。给ab一个向右的瞬时冲量I，在以后的运动中，cd的最大速度vm、最大加速度am、产生的电热各是多少？ 【分析与解答】 给ab冲量后，ab获得速度向右运动，回路中产生感应电流，cd受安培力作用而加速，ab受安培力而减速；当两者速度相等时，都开始做匀速运动。所以开始时cd的加速度最大，最终cd的速度最大。全过程系统动能的损失都转化为电能，电能又转化为内能。由于ab、cd横截面积之比为2∶1，所以电阻之比为1∶2，根据Q=I 2Rt∝R，所以cd上产生的电热应该是回路中产生的全部电热的2/3。又根据已知得ab的初速度为v1=I/m，因此有：EBLv1,IEF ，解得,FBLI,amr2rm/2a d B b c 2B2L2I 2 2。最后的共同速度为vm=2I/3m，系统动能损失为ΔEK=I/ 6m，其中cd上产生电热Q=I/ 9m am3m2r【例3】两根相距d=0.20 m的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.20 T，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形闭合回路.每条金属细杆的电阻为r=0.25 Ω，回路中其余部分的电阻可不计，已知两金属细杆在平行导轨的拉力作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0 m/s，如图所示，不计导轨上的摩擦。 （1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小. （2）求两金属细杆在间距增加0.40 m的滑动过程中生的热量 【提示】将电路转换为直流电路模型如图： 【答案】（1）3.2×10-2 N （2）1.28×10-2 J 【例4】 如图所示，AB和CD是足够长的平行光滑导轨，其间距为l，导轨平面与水平面的夹角为θ.整个装置处在磁感应强度为B的，方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中.AC端连有电阻值为R的电阻.若将一质量M，垂直于导轨的金属棒EF在距BD端s处由静止释放，在EF棒滑至底端前会有加速和匀速两个运动阶段.今用大小为F，方向沿斜面向上的恒力把EF棒从BD位置由静止推至距BD端s处，突然撤去恒力F，棒EF最后又回到BD端.求： （1）EF棒下滑过程中的最大速度. （2）EF棒自BD端出发又回到BD端的整个过程中，有多少电能转化成了内能（金属棒、导轨的电阻均不计）? 精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

中国高端的教育领先品牌 【分析与解答】（1）如图所示，当EF从距BD端s处由静止开始滑至BD的过程中，受力情况如图所示.安培力：F安=BIl=BBlvl，根据牛顿第二定律：a=RMgRsin B2l2Mgsin-BMBlvLR，所以，EF由静止开始做加速度减小的变加速运动。当a=0时速度达到最大值vm，即Mgsinθ-B2l2vm/R=0 得：vm=（2）由恒力F推至距BD端s处，棒先减速至零，然后从静止下滑，在滑回BD之前已达最大速度vm开始匀速。设EF棒由BD从静止出发到再返回BD过程中，转化成的内能为ΔE.根据能的转化与守恒定律：Fs-ΔE=ΔE=Fs-1Mvm2 ，21MgRsin2 M（）222Bl。 【例5】在磁感应强度为B=0.4 T的匀强磁场中放一个半径r0=50 cm的圆形导轨，上面搁有互相垂直的两根导体棒，一起以角速度ω=103 rad/s逆时针匀速转动.圆导轨边缘和两棒通过电刷与外电路连接，若每根导体棒的有效电阻为R0=0.8 Ω，外接电阻R=3.9 Ω，如所示，求： （1）每半根导体棒产生的感应电动势. （2）当电键S接通和断开时两电表示数（假定RV→∞，RA→0）. 【分析与解答】（1）每半根导体棒产生的感应电动势为E1=Blv=×103×（0.5）2 V=50 V。 （2）两根棒一起转动时，每半根棒中产生的感应电动势大小相同、方向相同（从边缘指向中心），相当于四个电动势和内阻相同的电池并联，得总的电动势和内电阻为E=E1=50 V，r=121Blω=×０.42211R0=0.1 Ω。当电键S断开时，外电路开42路，电流表示数为零，电压表示数等于电源电动势，为50 V；当电键S′接通时，全电路总电阻为 R′=r+R=（0.1+3.9）Ω=4Ω。由全电路欧姆定律得电流强度（即电流表示数）为 I=E50 A=12.5 A。此时电压表示数即路端电压为U=E-Ir=50-12.5×0.1 V=48.75 V（电压表示数）或rR4U=IR=12.5×3.9 V=48.75 V。 精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

中国高端的教育领先品牌 双导轨问题 1、两根足够长的平行金属导轨，固定在同一水平面上，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离L=0.2m。磁感强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在t=0时刻，两根金属杆并排靠在一起，且都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为1.37m/s2，问此时甲、乙两金属杆速度v1、v2及它们之间的距离是多少？ B2l2(v1v2)F安 ① FF安ma ② Ftmv1mv2 ③ 2R由①②③三式解得：v18.15m/s,v21.85m/s 对乙：HBtmv2 ④ 得QIBmv2 Q1.85C BlS相对又Q ⑤ 得S相对18.5m 2R2R 2、如图，水平平面内固定两平行的光滑导轨，左边两导轨间的距离为2L，右边两导轨间的距离为L，左右部分用导轨材料连接，两导轨间都存在磁感强度为B、方向竖直向下的匀强磁场。ab、cd两均匀的导体棒分别垂直放在左边和右边导轨间，ab棒的质量为2m，电阻为2r，cd棒的质量为m，电阻为r，其它部分电阻不计。原来两棒均处于静止状态，cd棒在沿导轨向右的水平恒力F作用下开始运动，设两导轨足够长，两棒都不会滑出各自的轨道。 ⑴试分析两棒最终达到何种稳定状态？此状态下两棒的加速度各多大？ ⑵在达到稳定状态时ab棒产生的热功率多大？ 解：⑴cd棒由静止开始向右运动，产生如图所示的感应电流，设感应电流大小为I，cd和ab棒分别受到的安培力为F1、F2，速度分别为v1、v2,加速度分别为a1、a2,则 精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

中国高端的教育领先品牌 IEBLv12BLv2BL(v12v2) 3r3r3r ② ① F1=BIL F2=2BIL a1FBIL2BILBIL a2 m2mm③ 开始阶段安培力小，有a1>>a2，cd棒比ab棒加速快得多，随着（v1-2v2）的增大，F1、F2增大，a1减小、a2增大。当 a1=2a2时，（v1-2v2）不变，F1、F2也不变，两棒以不同的加速度匀加速运动。将③式代入可得两棒最终作匀加速运动加速度： a12F 3m a2F 3m ④ ⑵两棒最终处于匀加速运动状态时a1=2a2，代入③式得：IF ⑤ 3BL ⑥ 2F2r此时ab棒产生的热功率为：PI2r 229BL2 3、两根水平平行固定的光滑金属导轨宽为L，足够长，在其上放置两根长也为L且与导轨垂直的金属棒ab和cd，它们的质量分别为2m、m，电阻阻值均为R（金属导轨及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。 （1）现把金属棒ab锁定在导轨的左端，如图甲，对cd施加与导轨平行的水平向右的恒力F，使金属棒cd向右沿导轨运动，当金属棒cd的运动状态稳定时，金属棒cd的运动速度是多大？ （2）若对金属棒ab解除锁定，如图乙，使金属棒cd获得瞬时水平向右的初速度v0，当它们的运动状态达到稳定的过程中，流过金属棒ab的电量是多少？整个过程中ab和cd相对运动的位移是多大？ a c F B a c v0 B b d 甲 b d O 乙 ⑴当cd棒稳定时，恒力F和安培力大小相等，方向相反，以速度v匀速度运动，有： F=BIL ……………………………………………………………………………………① 精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

中国高端的教育领先品牌 又IBLv…………………………………………………………………………………② 2R 联立得： v2FR ………………………………………………………………………③ 22BL ⑵ab棒在安培力作用下加速运动，而cd在安培力作用下减速运动，当它们的速度相同，达到稳定状态时，回路中的电流消失，ab，cd棒开始匀速运动。 设：这一过程经历的时间为t，最终ab、cd的速度为v′，通过ab棒的电量为Q。则对于ab棒由动量守恒：BILt＝2mv′ 即：BLQ＝2 mv′…………………………………………………………………………………④ 同理，对于cd棒：－BILt＝mv′－mv0 即： BLQ＝m（v0-v′）………………………⑤ 由④⑤ 两式得：Q2mv0…………………………………………………………………⑥ 3BL设整个过程中ab和cd的相对位移为S，由法拉第电磁感应定律得： EBLS…………………………………………………………………………⑦ tt 流过ab的电量：Q由⑥⑦⑧两式得：SEt………………………………………………………………⑧ 2R4mv0R…………………………………………………………………错误!未找到引用源。 223BL评分标准：①⑥式各3分，②③错误!未找到引用源。式各2分，④⑤⑦⑧式各1分，共16分。 4、如图所示，固定于水平桌面上足够长的两平行导轨PQ、MN，PQ、MN的电阻不计，间距为d=0.5m .P、M两端接有一只理想电压表，整个装置处于竖直向下的磁感强度B=0.2T的匀强磁场中.电阻均为r0.1，质量分别为m1=300g和m2=500g的两金属棒L1、L2平行的搁的光滑导轨上，现固定棒L1，L2在水平恒力F=0.8N的作用下，由静止开始作加速运动，试求： （1）当电压表读数为U=0.2V时，棒L2的加速度多大？ （2）棒L2能达到的最大速度vm. （3）若固定L1，当棒L2的速度为v，且离开棒L1距离为s的同时，撤去恒力F，为保持棒L2作匀速运动，可以采用将B从原值（B0=0.2T）逐渐减小的方法，则磁感应强度B应怎样随时间变化（写出B与时间t的关系式）？ （1）∵L1与L2串联 ∴流过L2的电流为：I=u0.22A ① r0.1FF0.80.21.2m/s2 ③ m20.5L2所受安培力为F′=BdI=0.2N ② a评分标准：①②③式每式各2分. （2）当L2所受安培力F安=F时，棒有最大速度vm，此时电路中电流为Im.则F安=Bd Im ④ Im=2FrBdvm ⑤ F安=F ⑥ 由④⑤⑥式得vm=2216m/s ⑦ 2rBd评分标准：④⑤⑥式每式1分，⑦式2分. （3）要使L2保持匀速运动，必须回路中磁通量保持不变，设撤去恒力F时磁感应强度为B0，t时磁感应强度为Bt，则B0ds=Btd（s+vt） 精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

中国高端的教育领先品牌 ⑧ （2分） BB0s ⑨ （2分） tsvt 5、如图所示，有上下两层水平放置的平行光滑导轨，间距是L，上层导轨上搁置一根质量为m，电阻是R的金属杆ST，下层导轨末端紧接着两根竖直平面内的半径为r的光滑绝缘半圆形轨道，在靠近半圆形轨道处搁置一根质量也是m，电阻也是R的金属杆AB。上下两层平行导轨所在区域里有一个竖直向下的匀强磁场。当闭合开关S后，当有电荷量q通过金属杆AB时，杆AB滑过下层导轨，进入半圆形轨道并且刚好能通过轨道最高点D′F′后滑上上层导轨。设上下两层导轨都是够长，电阻不计。 ⑴求磁场的磁感应强度 ⑵求金属杆AB刚滑到上层导轨瞬间，上层导轨和金⑶问从AB滑到上层导轨到具有最终速度这段时间里量转变为内能？ 解：⑴开关闭合后，有电流通过AB棒，在安培力F作用 轨道时速度为v0，由动量定理，得S A B S T D′ F′ 属杆组成的回路中的电流 上层导轨回路中有多少能B 下获得加速度，离开下层 mv0FVtBILVtBLq ⑴ 1212mv0mv2mgr2AB棒在半圆轨上运动时，机械能守恒，则2 ⑵ mv2mgrAB棒在半圆轨最高点时，由牛顿第二定律得 ⑶ B联解⑴⑵⑶式，得：m5grqL ⑵AB滑入上层轨道瞬间的速度为 产生感应电动势为vgr； E0BLvBLgr E0BLgr2R2R 回路中电流 I0⑶当两杆速度相等时，回路中磁通量不变化，电流为零，两杆作匀速直线运 11mv02mv vv0gr22动，达到最终速度v，由动量守恒定律，得： U由能量关系，得： 精锐教育网站：www.1smart.org 精锐教育·教务管理部

1211111mv02mv2mgr2mgrmgr222244 中国高端的教育领先品牌

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