【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)

【高考要求】

1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；

3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。

【热点透析】

与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：

（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：

① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；

② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式0。 2.解题时所使用的数学思想方法。

（1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。

（2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。

（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。

（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。

【题型分析】

x2y21. 已知双曲线C1:221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，

ab准线与双曲线C1的左准线重合，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2离心率为（ ）

F1F2，则双曲线C1的

A．2

B．3

C．23 3

D．22 a2解：由已知可得抛物线的准线为直线xc4a2，∴ 方程为yx；

c2b2b224a2b2222由双曲线可知P(c,∴ ()∴ b2a22，∴ e12，e3． )，c，

aacax2y22．椭圆221（ab0）的两个焦点分别为F、F2，以F1、F2为边作正三角形，若椭圆

ab恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e为 （ B ）

A．3132 B．31 C．4(23) D． 24解析：设点P为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，

由平面几何知识可得|PF2所以由椭圆的定义及e|:|PF1|:|F1F2|1:3:2，

c得： ae|F1F2|2c231，故选B． 2a|PF1||PF2|31 变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率e31．

3. （09

x2y2浙江理）过双曲线221(a0,b0)的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲

ab1BC，则双曲线的离心率是 ( ) 23 C．5 D．10 ABxya0，直线与两渐近线的交点为B，C，

线的两条渐近线的交点分别为B,C．若

A．2 B．Aa,0【解析】对于，则直线方程为

a2aba2ab2a2b2a2bababB,,C(,)BC(,),AB,，， 2222abababababababab因此2ABBC,4a2b2,e5．★答案★：C

4. （09

x2y2江西理）过椭圆221(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦

ab点，若F1PF260，则椭圆的离心率为（ ） A．

22 B．

33 C．

1 2D．

1 3b2【解析】因为P(c,)，再由F1PF260a5.（08

3b2c3有，故选B 2a,从而可得eaa3x2y2陕西理）双曲线221（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角

ab为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ B ）

A．6

B．3 C．2

D．3 33：2,则双曲线的离心率是

6.（08（D）

x2y2浙江理）若双曲线221的两个焦点到一条准线的距离之比为

ab （A）3 （B）5 （C）7.（08全国一理）在△ABC中，则该椭圆的离心率e

3 （D）5

7．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，18ABBC，cosB3 8 ．

8.（10辽宁文）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线

垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）

（A）2 （B）3 （C）3151 （D） 22x2y2解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：221(a0,b0)，

abbbbb，()1，则一个焦点为F(c,0),B(0,b) 一条渐近线斜率为：，直线FB的斜率为：

acacb2ac c2a2ac0，解得ec51. a29.（10全国卷1理）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF＝2FD，则C的离心率为________．

解析：★答案★：

3 3

x2如图，设椭圆的标准方程为2ay2＋2b＝1(a＞b＞0)不妨设B为上顶点，F为右焦点，设D(x，y)．由

BF＝2FD，得(c，－b)＝2(x－c，y)，

3cxc2(xc)2，D(3c，－b)．

即，解得22b2yyb23b(c)2()22由D在椭圆上得：22ab2【解析1】c2＝1， ∴2a＝

31c，∴e＝＝.

33a322如图，|BF|bca, 作DD1y轴于点D1,则由BF2FD，得 3333c|OF||BF|2,所以|DD1||OF|c,即xD,由椭圆的第二定义得

222|DD1||BD|3a23c3c2|FD|e()ac22a

3c23,e又由|BF|2|FD|,得a2a a3【解析2】设椭圆方程为第一标准形式

x2y221，设Dx2,y2，F2ab分 BD所成的比为2，

xc3yb30b02x2b2y233bx2xcc;ycy2c，代入

1222122229c21b231， e224a4b3

10. （07全国2

x2y2理）设F1，F2分别是双曲线22ab的左、右焦点，若双曲线上存在点

A，使

F1AF290且

AF13AF2，则双曲线的离心率为（ B ） A．5 2 B．102 C．15 2D．5 解

AF1(AF1)2AF22AF22a(2c)2(AF2)2a2c10e10 2x2y2o11. 椭圆221(a0,b0)的左焦点为F，若过点F且倾斜角为45的直线与椭圆交于A、B两

ab点且F分向量BA的比为2/3，椭圆的离心率e为: 。

本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。思路简单，运算繁琐。下面介绍两种简单解法。

解法（一）：设点A

xA,yA，BxB,yB，由焦半径公式可得

aexA3，

aexB2则2(aexA)3(aexB)，变形2(aexAaexB)aexB，

，所以有

所以

2e(xAxB)aexB因为直线倾斜角为45o2e•22ABAB25，所以

e25

提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。 解法（二）：

BE112BF•AB ee5113ADAF•AB

ee5AC2AB2 ADBEAC

13122•AB•ABABe5e52e25

12. （10辽宁理）(20)（本小题满分12分）

x2y2设椭圆C：221(ab0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线

abl的倾斜角为60o, 解：

设

AF2FB.椭圆C的离心率 ；

A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意知y1＜0，y2＞0.

y3(xc)，其中ca2b2. （Ⅰ）直线l的方程为

y3(xc),22224联立x2得(3ab)y23bcy3b0 y2221ba3b2(c2a)3b2(c2a)解得y1 因为AF2FB，所以y12y2. ,y23a2b23a2b2即

3b2(c2a)3b2(c2a)2•223ab3a2b2 得离心率

ec2. ……6分 a3,则椭圆离心率的范围是_________. 213. A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使

∠OPA=

x2y2解析：设椭圆方程为22=1(a＞b＞0),以OA为直径的圆：x2－ax+y2=0,两式联立消

aba2b22

2=0.即e2x2－ax+b2=0,该方程有一解x,一解为a,由韦达定理x=a－a,0y得x－ax+b22

a2e2＜x2＜a，即0＜

a2－a＜a＜e＜1. 2e22＜e＜1 2★答案★：

x2y2214. 在椭圆221(ab0)上有一点M，F1,F2是椭圆的两个焦点，若MFMF22b，

1ab椭圆的离心率的取值范围是;

解析: 由椭圆的定义，可得

MF1MF22a又MF1MF22b2，所以MF1,MF2是

方程

x22ax2b20的两根，由

(2a)242b20， 可得

a22b2，即

a22(c2a2)所以ec2a2，所以椭圆离心率的取值范围是[2,1) 2x2y23a15. （08湖南）若双曲线221（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线

ab2的距离，则双曲线离心率的取值范围是

A.(1,2)

B.(2,+)

C.(1,5)

D. (5,+)

3a23a2331解析 由题意可知(a)e(a)即e1解得e2故选B.

2c2c22ex2y216.（07北京）椭圆221(ab0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，

ab若

MNF1F212

，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）

Ａ．(0，]

Ｂ．(0，2] 2

Ｃ．[1，1) 2

Ｄ．[2，1) 22a22解析 由题意得22c∴ec2故选D.

x2y217.（07湖南）设F1，F2分别是椭圆221（ab0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P,ab使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A．(0，2] 2

B．(0，3] 3

C．[2，1) 2

D.[3，1)3

分析 通过题设条件可得PF22c，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？

a2c 解析：∵线段PF1的中垂线过点F2， ∴PF22c，又点P在右准线上，∴PF2ca2c33c∴即2c∴e1，故选D. ca33点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.

x2y218. （08福建理）双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F、F,若P为其上一点，且|PF|=2|PF|,

ab1

2

1

2

则双曲线离心率的取值范围为（B）

A.(1,3)

B.

1,3

C.(3,+)

D.

3,

分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？利用第二定义及焦半径判断x0a

解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|=2a，|PF2|ca即2a所以双曲线离心率的取值范围为1e3，故选B.

ca∴3ac

解2 如图2所示，设

PF2m，

F1PF2(0)，

m2(2m)24m2cos2ce54cos2am当点P在右顶点处有选B.

小结 本题通过设角和利用余弦定理，将双曲线的离心率用三角函数的形式表示出来，通过求角的余弦值的范围，从而求得离心率的范围.

点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于ca）则可建立不等关系使问题迎刃而解.

19.（08江西理）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF2离心率的取值范围是（C）

A．(0,1) B．(0,. .∵1cos1，∴e1,3.

0的点M总在椭圆内部，则椭圆

221) D．[,1) ] C．(0,222解 据题意可知，∠

F1M

F2是直角，则垂足M的轨迹是以焦距为直径的圆.所以

cbc2b2a2c2e221.又e(0,1)，所以e(0,).选C.

22小结 本题是最常见的求离心率范围的问题，其方法就是根据已知条件，直接列出关于 a，b，c间的不等量关系，然后利用a，b，c间的平方关系化为关于a，c的齐次不等式，除以a即为关于离心率e的一元二次不等式，解不等式，再结合椭圆或双曲线的离心率的范围，就得到了离心率的取值范围.

2x2y220. （04重庆）已知双曲线221,(a0,b0)的左，右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右

ab支上，且|PF1|A

4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为：( )

457 B C 2 D 33325∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1||PF2|=3|PF2|=2a，|PF2|ca即aca∴ac

335所以双曲线离心率的取值范围为1e，故选B.

3x2y221. 已知F1，F2分别为221 (a0,b0)的左、右焦点，P

ab为双曲线右支上任一点，若

PF1PF22的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A (1,2] B(1,3] C[2,3]

D[3,)

解析

PF1(2aPF2)24a2PF24a24a24a8a，欲使最小值为8a，需右PF2PF2PF22支上存在一点P，使

PF22a，而PF2ca即2aca所以1e3.

x2y222. 已知椭圆221(ab0)右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，椭圆

ab的离心率e的取值范围是; 。

x02y02221解：设P点坐标为（x0,y0）,则有a bx2axy20000消去

y02得(a2b2)x02a3x0a2b20若利用求根公式求x0运算复杂，应注意到方程的一个根为

由0a2b2ab2x022a,由根与系数关系知ax022ababx0a得2e1 223. 椭圆

G：

x2y221(ab0)2ab的两焦点为

F1(c,0),F2(c,0)，椭圆上存在点

M使

F1MF2M0. 求椭圆离心率e的取值范围 ；

解析 设M(x,y),F1MF2M0x2y2c2……①

b22a2b222将yb2x代入①得xaa2220x2a2求得2e1 . 2x2y2点评：221(ab0)中xa，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中

ab经常使用，应给予重视.

x2y224. （06福建）已知双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线

ab与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

（A）(1,2] （B）(1,2) （C）[2,) （D）(2,)

解析 欲使过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

bb22222，∴ ≥3，即b3a即ca3a∴c4a即e2故选C. aa25. （04全国Ⅰ）设双曲线

x22C：2y1(a0)与直线l:xy1相交于两个不同的点

aA、B.

求双曲线C的离心率e的取值范围：

解析 由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

x222y1,有两个不同的实数解.消去y并整理得 axy1.（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①

21a0.所以解得0a2且a1.

4224a8a(1a)0.1a211双曲线的离心率：eaa2所以双曲线的离心率取值范围是(0a2且a1,∴e6且e2 26,2)(2,) 2总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意

焦点的位置等.

x2y226．设F1，F2分别是椭圆221（ab0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P,使线段PF1ab的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）

A．0，2 2

B．0，3 3

C．2

，1

2

D．3 ，13a2c2c2ca2c3ce3 3x2y227. （09重庆卷文）已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)，若椭

ab圆上存在一点P使

acsinPF1F2sinPF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．

【★答案★】

21,1

PF2PF1sinPF1F2sinPF2F1

. 解法1，因为在PF1F2中，由正弦定理得

则由已知，得

acPFPF1211，即aPF1cPF2

aex0,PF2aex0则a(aex0)c(aex0)

设点(x0,y0)由焦点半径公式，得PF1记得x0a(ca)a(e1)a(e1)由椭圆的几何性质知x0a则a，整理得

e(ca)e(e1)e(e1)解得

e22e10,e(21,1)

e21或e21，又e(0,1)，故椭圆的离心率

x2y228. （10四川理）椭圆221(ab)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存

ab在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是

1120,,1 21,1（A） （B） （C） （D）0,222解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，

即F点到P点与A点的距离相等

a2b2而|FA|＝ccc即ac－c2≤b2≤ac＋c2

b2 ， |PF|∈[a－c,a＋c]，于是

c∈[a－c,a＋c]

c1aaccac1∴ 又e∈(0,1)故e∈,1 ★答案★：D

2222acaccc1或c1a2a22229． 已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E满足AE点，当

EC，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦

23时，双曲线离心率e的取值范围是： 。 34分析：显然，我们只要找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。 解：如图4，建立坐标系，这时CD⊥y轴， 因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点， 由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。

依题意，记A(-C,0)，C(由

C1,h)，E(x0,y0), 其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高。 22(2)chc.设双曲线的方程为y0AEEC,即(x0+c,y0)= (-x0,h-y0)得:x0=

22(1)1e=

x2y21,则离心率a2b2e242e4c。由点aC、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e=

c代入双曲线的方程得ay D E C h221(1)b

2222h()()1(2)11b2e23将（1）式代入（2）式,整理得(4-4)=1+2,故=12.

4e223233依题设得1 -,解得7e10. 343e224所以双曲线的离心率的取值范围是7e10.

A O B x 图4

x2y230．已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，若在双曲线的右支上存在一

ab点P，使得

PF13PF2，则双曲线的离心率e的取值范围为 ．

（★答案★：1e2）

PF13PF2及双曲线第一定义式

解析：方法一：由

|PF1||PF2|2a，得：

|PF1|3a，|PF2|a，又|F1F2|2c．

因为点P在右支上运动，所以|PF1||PF2得4a||F1F2|，

2c，即

c2，又e1，故填1e2． a方法反思：若改变两个焦半径PF1、PF2的倍分关系，同理也可得出相应的离心率的范围． 方法二：若思考满足

PF13PF2的动点P的几何意义，将会体现出本试题更大的价值！

（引导学生思考：到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么？同时启动几何画板．） 因F1(c,0)，F2(c,0)，根据阿氏圆的定义可得：点P应在以

cAB为直径的圆上，其中A(,0)为有

2向线段F1F2的内分点，B(2c,0)为有向线段F1F2的外分点．所以双曲线上若存在点P满足题意，必有

ac，所以e2． 2故1e2．

PF13PF2的转化，揭示了本题中动点P的本质属性，从而转化为圆心在x轴

方法反思：通过对条件

上的圆和双曲线有公共点的问题，体现了模拟试题的综合性，同时也提高了同学们分析问题和解决问题的能力．

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