高中数学讲义微专题74 利用几何关系求解圆锥曲线问题

一、基础知识：

1、利用几何关系求最值的一般思路:

（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关

（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位置关系。一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上。

（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置

（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。 2、常见的线段转移：

（1）利用对称轴转移线段（详见例1）

（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移。

（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化。

（4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径 （5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注意点在双曲线的哪一支上） 3、与圆相关的最值问题：

（1）已知圆C及圆外一定点P，设圆C的半径为r则圆上点到P点

A距离的最小值为PMPCr，最大值为PNPCr（即连

CPB结PC并延长，M为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点 （2）已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦MN

解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为AB2rd，若AB最小，则d22要取最大，在圆中CP为定值，在弦绕P旋转的过程中， dCP，所以dCP时，AB最小

（3）已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为PMdClr，距离的最大值为PNdClr（过圆心C作l的垂线，垂足为P，CP与圆C交于M，其反向延长线交圆C于N

（4）已知圆C和圆外的一条直线l，则过直线l上的点作圆的切线，切线长的最小值为PM 解：PMMCNClPMlCPr2，则若PM最小，则只需CP最小即可，

2所以P点为过C作l垂线的垂足时，CP最小

P过P作圆的切线，则切线长PM最短

4、与圆锥曲线相关的最值关系：

x2y2（1）椭圆：设椭圆方程为221ab0

ab① 焦半径：焦半径的最大值为ac，最小值为ac

2b2② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直

ax2y2（2）双曲线：设双曲线方程为221a0,b0

ab① 焦半径：焦半径的最小值为ac，无最大值

2b2② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直

a（3）抛物线：设抛物线方程为y2px

① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为2p

二、典型例题：

2p 2例1：已知在平面直角坐标系中，点A1,1,B3,4，P为x轴上一动点，则PAPB的最小值为___________

思路：从所求可联想到三点不共线时，三角形两边之和大于第三边（而三点共线时可能相等），由已知可得：

AB5，但从图像上发现无论P在何处，

（即使P,A,B共线时PAPBAB，无法取到等号。

等号也不成立），为了取到最值。考虑利用对称转移所求线段。作A关于x轴的对称点A'，从而有APA'P，所以PAPB转化为PA'PB，可知当A,P,B三点共线时，

'PA'PBminA'B41，即PAPBmin41 答案：41

小炼有话说：（1）三点共线取得最值的条件：动点位于两定点之间时，则距离和取到最小值。同理；当动点位于两定点同一侧时，距离差的绝对值取到最大值。

（2）处理线段和（差）最值问题时，如果已知线段无法找到最值关系，则可考虑利用“线段转移法”，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件

例2：设抛物线y4x上一点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线l:3x4y120的距离为d2，则d1d2的最小值为（ ） A. 3 B.

21618 C. D. 4 55思路：通过作图可观察到直接求d1d2的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知可得d1为P到准线的距离，所以可根据抛物线定义转移为PF（其中F是抛物线的焦点，，所以d1d2PFd2，F1,0）观察图像可得：PFd2dFl答案：A

例3：已知过抛物线y4x的焦点F的弦与抛物线交于A,B两点，过A,B分别作y轴的垂

2311253

线，垂足分别为C,D，则ACBD的最小值为__________ 思路：设抛物线的准线为l，由抛物线y4x可知l:x1 ，观察图像可知ACdAl1,BDdBl1。而由抛物线定义可得

：

2dAlAF,dBlBF，所以

ACBDAF1BF1AB2，即要求出ACBD的最小值，只需求出AB的最小值，即抛物线焦点弦

的最小值，由抛物线性质可知当ABx轴时，AB最小，ABmin2p4，所以

ACBD答案：2

min2

2例4：已知点P,1在抛物线E:x2pyp0的准线上，过点P作抛物线的切线，

32若切点A在第一象限，F是抛物线的焦点，点M在直线AF上，点N在圆

C:x2y21上，则MN的最小值为（ ）

A.

2216 B. C. 2 D. 621 55思路：由图像可知，固定M点，则圆C上到M距离的最小值CMrCM1，所以只需在直线上找到与圆心C距离最小的点，即C到直线AF的距离。需要确定抛物线方程和A点坐标，由P,1可得准线方程为y1，所以p2，抛物线方程为

32x24yy121x，焦点F0,1 设Aa,a2，则4412a1111'4yx，切线斜率ka，从而kaa4，即A4,4，3222a2kAF413，所以直线AF方程：从而MN3x4y40，404min684324211 5答案：A

例5：抛物线yx上的点到直线4x3y80距离的最小值是（ ） A.

2148 B. C. D. 3 435思路一：直接利用点到直线距离公式得到距离关于x的函数，设抛物线上的点Px,x2，则

dPl4x3x2852203x335220144，所以最小值为 3533思路二：本题也可将直线进行平移，平移至与抛物线相切，则两直线之间的距离即为所求最小值。所以只需求与已知直线平行且与抛物线相切的直线，设切点坐标为x0,y0，所求函数的导数y2x，因为切线与

'4x3y80平行，所以2x042，可得x0，进而3344242y0x0，故切线方程为：yx，整理后

933948434，可得：4x3y0，所以两直线距离d533即抛物线上的点到距离的最小值 答案：B

例6：已知点M是抛物线y4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆

2C:x4y11上，则MAMF的最小值为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

思路：本题含两个动点M,A，先固定一个点不动，寻找最小值的规律。考虑固定M，则圆上距离M最近的点为MC与圆的交点，即MAminMCrMC1，所以只需考虑

22MCMF的最小值即可，通过移动M可知，无论M位于何处，MCMFCF，

所以CF不是最小值。考虑转移线段，抛物线的准线l:x1，则MFdMl，所以

MCMFMCdMldCl5（即C到准线的距离，所以

MAMFMC1MFdCl14

答案：C

x2y21上，若点A的坐标例7：已知动点Px,y在椭圆

2516为3,0，AM1,PMAM0，则PM的最小值是（ ） A.

2 B. 3 C. 2 D. 3

思路：由椭圆方程可知A即为椭圆的焦点，由AM1可知M是以A为圆心，半径为1的圆上的点，P在圆外，且由PMAM0可得PMAM，所以PM即为圆上的切线，PM的最小值即切线长的最小值，由圆的性质可得：

PMPAr22PA1，所以只需找到PA的最小

2值即可，由椭圆性质可知：PAminac532，故

PMminPAmin13

2答案：B

x2y21的左焦点，例8：设F1是椭圆P是椭圆上的任意一点，2516点M的坐标为6,4，则PMPF1的最大值为___________ 思路：先作出椭圆图像，标出定点M,F1的位置，若从F1M入手，则由图发现无论P在何处，PMPF1F1M。与所求最大值

不符。考虑进行线段转移，发现PF1为左焦半径，所以考虑作出右焦点F23,0，利用

PF1PF22a10进行线段转移。即PMPF110PMPF2，只需求出

PMPF2max2，结

2合图像可得

PMPF2F2M，且

F2M答案：15

63405，从而可得：PMPF1max10F2M15

x2y221上一点，M,N分别是两圆C1:x2y21和C2: 例9：设P是椭圆95x22y21上的点，则PMPN的最小值和最大值分别为（ ）

A. 4,8 B. 2,6 C. 6,8 D. 8,12 思路：本题有三个动点P,M,N，但观察可得PM,PN之间没有联系，所以若PMPN达到最小，则只需PM,PN分别达

到

最

小

即

可

。

固

定

P

点，可知

PMminPC1r1PC11,PNminPC2r2PC21，所以PMPNPC1PC22，可知C12,0,C22,0恰好为椭圆两个定点，所以由椭圆定义可得：PC1PC22a6，所以PMPNmin624，同理可知：

，

所

以

PMmaxPC1r1PC11,PNmaxPC2r2PC21PMPNmax628

答案：A

例10：设P,Q分别为

C:x2y62和椭圆

2x2y21上的点，则P,Q两点间的最大距离是10___________

思路：本题中P,Q均为动点，所以考虑先固定一点不动，比如Q点，寻找此时达到最值时P位置的规律，进而再让

Q运动起来，找到最值。观察图像可得Q点固定时，PQ达到的最大值时P在QC延长线与

C的交点处，即PQQCr，由于r2，所以只需找到QC的最大值即可，设

x2Qx,y，而C0,6，则QCxy6，由y21可得x2101y2，代入

102222消去x可得：QC101yy69y12y469y50，因为

32222222y1,1，所以当y时，QCmax50QC52，从而PQQCr62 3答案：62

三、历年好题精选

1、（2014，安徽）在平面直角坐标系xOy中，已知向量a,b,ab1,ab0，点

Q满足OQ2ab，曲线CP|OPcosasinb,02，区域

P|0rPQR,rR，若C为两段分离的曲线，则（ ）

A. 1rR3 B. 1r3R C. r1R3 D. 1r3R

2、已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1，则抛物线y4x上一动点P到直线l1,l2的距离之和的最小值是（ ）

A. 2 B. 3 C.

21137 D. 516x2y21上一动点，则MAMB的最3、已知点A4,0和B2,2，M是椭圆259大值为_________

24、已知点P,1在抛物线E:x2pyp0的准线上，过点P作抛物线的切线，若切

32点A在第一象限，F是抛物线的焦点，点M在直线AF上，点N在圆

C:x2y21上，则MN的最小值为（ ）

A.

2216 B. C. 2 D. 621 5522225、已知圆C1:x2y31，圆C2:x3y49,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则PMPN的最小值为 （ ）

A．524 B．171 C．622 D．17 6、（2016，绵阳二模）已知点P在单位圆xy1上运动，点P到直线3x4y100与

22x3的距离分别记为d1,d2，则d1d2最小值为_________．

x2y221的右支上一点，M,N分别是圆x10y24和7、已知点P是双曲线

36x10

2y21上的点，则PMPN的最大值为_________

习题答案：

1、答案：A

解析：由a,b的特点可以以a,b所在直线为坐标轴建系，则有a1,0,b0,1，所以曲线C上点的坐标为cos,sin，即圆心是原点的单位圆；另一方面

OQ2,2可得Q2,2,OQ2，所以区域为以Q为圆心，r,R为半径的

圆环。通过数形结合可得若C为两段分离的曲线，意味着以Q为圆心，r,R为

OQr1半径的圆均与单位圆相交。所以R1r1R3

OQR12、答案：A

解析：观察直线l2的方程恰好是抛物线的准线，所以想到P到l2的距离与PF相等（F是抛

物线的焦点）。以此为突破口进行线段转移，所以dPl1dPl2dPl1PF，通过作图观察可得dPl1PFdFl1（等号成立条件：P为F到l1的垂线与抛物线的焦点），且F1,0 ，所以dPl1dPl2mindFl140652

3、答案：10＋210

解析：可知A是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A14,0，连接BA1并延长交椭圆于M1，则M1是使MAMB取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M有：

MAMB2aMA1MB2aA1B25622210210 4、答案：A

解析：由点P,1在抛物线准线上可得：p2

32121x y'x 4212a1112'4设Aa,a kAPy|xaa解得：a4,a1（舍） 324a23A4,4 由F0,1可得AF的方程为：y1x3x4y40

4E:x24yyM在直线AF上，N在圆上 MNdClr5、答案：A

解析：设圆C1,C2的半径为r1,r2，即3242432421611 55r11，可知PMPC1r1,PNPC2r2

r23PMPNPC1PC2r1r2PC1PC24 C12,3关于x轴对称点为C1'2,3

PC1PC2PC1'PC2C1'C22323452 2PMPN524，等号成立条件：C1',C2,P共线

6、答案：545 5解析：设点Pcos,sin，可得d13cos4sin103242104sin3cos，

5d23cos，所以d1d25145sin，所以d1d2的4sin8cos555最小值为57、答案：15

45 5x2y21中，a6,b8,c10 解析：在双曲线

36F110,0,F210,0 PF1PF22a12 MPPF1MF1,PNPF2NF2 PMPNPF1MF1PF2NF215